1/n+1/（n+1）+…+1/2n[n为正整数]，它的极限是多少？

Seven 7 2024-05-25 11:13:58

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1/n+1/（n+1）+…+1/2n的极限是ln2,实际上,它的极限s=
1-1/2+1/3-1/4+...=ln2
下证明原命题:(加强)
设a(n)=1/（n+1）+…+1/2n,(少了1/n)
a(n+1)-a(n)=1/(2n+1)-1/(2n+2)>0
故n>=3时,a(n)>=a(3)=19/20>13/14
n=1,2时,a(n)+1/n>13/14也成立
故原命题成立

下给出1/n+1/（n+1）+…+1/2n的极限是ln2的证明:
lim (1+1/n)^n=e,且(1+1/n)^n<e<(1+1/n)^(n+1)
取对数
1/(n+1)<ln(1+1/n)<1/n
设b(n)=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn
b(n+1)-b(n)=1/(n+1)-ln(1+1/n)<0
又b(n)=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn
>ln2/1+ln3/2+ln4/3+...+ln(1+1/n)-lnn
=ln(n+1)-lnn>0
故lim b(n)=c,c为常数
由上题a(n)=b(2n)-b(n)+ln(2n)-lnn
lim a(n)=lim b(2n)-lim b(n)+ln2
=c-c+ln2
=ln2
c是eular常数0.571... 20210311

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