若p为标准椭圆上一点 ,f1和f2是焦点,角pf1f2=α,角pf2f1=β,证明(a-c)/(a+b)=tan(α/2)tan(β/2)

演。 2024-12-01 00:47:21
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证明:利用正弦定理: |pf2|/sinα=|pf1|/sinβ=2c/sin(α+β),利用等比性质,∴(|pf2|+|pf1|)/(sinα+sinβ)=2c/sin(α+β),∵ |pf2|+|pf1|=2a∴ 2a/(sinα+sinβ)=2c/sin(α+β)∴ asin(α+β)=c(sinα+sinβ)∴ 2asin[(α+β)/2]*cos[(α+β)/2]=2c*sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]∴c*cos(α/2-β/2)=acos(α/2+β/2)∴ (a-c)cos(α/2)cos(β/2)=(a+c)sin(α/2)sin(β/2)∴ (a-c)/(a+c)= tan(α/2)tan(β/2) 20210311
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