什么是凸二次规划

玲溪 2024-06-11 01:27:13
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二次规划(quadratic programming),在运筹学当中,是一种类型的最佳化问题。[编辑] 简介二次规划问题可以以下形式来描述:f(x) = (1 / 2)xtqx + ctx受到一个或更多如下型式的限制条件:ex = dvt 是 v 的转置。如果q是半正定矩阵,那么f(x)是一个凸函数。如果有至少一个向量x满足约束而且f(x)在可行域有下界,二次规划问题就有一个全局最小值x。 如果q是正定矩阵,那么全局最小值就是唯一的。如果q=0,二次规划问题就变成线性规划问题。根据优化理论,一个点x 成为全局最小值的必要条件是满足 karush-kuhn-tucker(kkt)条件。当f(x)是凸函数时,kkt条件也是充分条件。当二次规划问题只有等式约束时,二次规划可以用线性方程求解。否则的话,常用的二次规划解法有:内点法(interior point)、active set和共轭梯度法等。凸集二次规划问题是凸优化问题的一个特例。[编辑] 对偶每个二次规划问题的对偶问题也是二次规划问题。我们以正定矩阵q为例:l(x,λ) = (1 / 2)xtqx + λt(ax − b) + ctx对偶问题g(λ),可定义为我们可用 : 得到l的极小x * = − q − 1(atλ + c),对偶函数:g(λ) = − (1 / 2)λtaq − 1atλ − ctq − 1atλ − btλ对偶问题为:maximize : − (1 / 2)λtaq − 1atλ − (ctq − 1at + bt)λsubject to : 计算复杂性当q正定时,用椭圆法可在多项式时间内解二次规划问题。当q负定时,二次规划问题是np困难的(np-hard)。即使q 存在一个负特征值时,二次规划问题就是np困难的。 20210311
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