随机过程，机器学习和蒙特卡洛在金融应用中都有哪些关系

随机过程 stochastic processes泊松过程 po**son processes更新过程 renewal processes布朗运动 brownian motion仿射（跳跃）扩散过程 affine processes (or affine-jump diffusions)列维过程 levy processes连续状态分枝过程 continuous state branching processes随机微分方程 stochastic differential equations半鞅 semimartingale偏微分方程 partial differential equations偏积分－微分方程 partial integro-differential equations倒向随机微分方程 backward stochastic differential equations二阶倒向随机微分方程 second order backward stochastic differential equations随机偏微分方程 stochastic partial differential equations随机最优控制 stochastic optimal control极值建模 modeling of extremes风险度量 r**k measures蒙特卡洛模拟 monte carlo simulation============stochastic processes============introduction and references『随机过程』(stochastic processes) 是概率论的一个分支，一般来说是特指一个学科，而『蒙特卡洛』 (monte carlo) 是一种获得某种统计量、待求值或函数值的方法，二者不太具有明显的并列关系或者包含与被包含关系。随机过程从内容上来说大致有两类：第一种我称之为应用随机过程，也是大家一般所说的随机过程，内容包括几种具体的经典随机过程，例如：po**son process，renewal process，d**crete time and continuous time markov chain，basics of brownian motion，以及他们的应用，比如 queue systems 等。相关的书籍有：stochastic processes, sheldon ross另外一本稍微高阶书的是 cornell university 的“**”教授 (lee teng hui professor)、应用概率大牛 sidney resnick 所著的adventures in stochastic processes第二种是指随机过程一般理论：一般包括概率论、随机过程的测度论基础 (probability space、convergence theory、limit theory、martingale theory 等)，markov process，stochastic integral, stochastic differential equations, semimartingale theory （半鞅）尤其是后者等比较艰深的概念和问题（内容参考以下书籍）；其中入门的书籍有：stochastic calculus for finance ii, steven shrevearbitrage theory in continuous time, tomas **这两本是与金融交互讲的；另外一本稍微偏理论的随机分析入门书籍是：stochastic differential equations, bernt oksendal高阶数学研究生水平的书籍有：stochastic integrals and differential equations, philip protterbrownian motion and stochastic calculus, karatzas, shrevebrownian motion and continuous martingales, revuz, yorlimit theorems for stochastic processes, jacod, shiryayev一本比较艰深的讲套利数学的研究生读物（需要懂半鞅、泛函分析）：mathematics of arbitrage, delbaen, schachermayer，其中讲了不同模型设定下的的套利理论，包括离散模型，连续模型比如半鞅等过程驱动的市场对应的套利结论；utility maximization, convex duality 等概念。当然，学习高级随机分析的书籍需要比较坚实的概率论基础，在此我推荐：probability: theory and examples, richard durretreal analys** and probability, dudley特别地，我强烈推荐两本我当作参考文献的概率论书籍。一下两本书全面介绍了概率论基本理论，非常适合已经有一定测度背景并且想继续深入学习随机分析的读者：probability theory: a comprehensive course, klenkefoundations of modern probability, kallenbergoverview『数学金融』中涉及的随机过程应该主要涵盖上述第一类里的几乎所有内容和上述第二类里的stochastic integrals, stochastic differential equations (sde)，semimartingale 等，其中实务中最常用的是 ito process 和 levy process；因为他们都有比较好的马尔可夫性 (markovian structure)，根据 feynman-kac 等定理，所以又能与 partial differential equation 和 partial integro-differential equation 联系起来。这也是期权定价的 pde 方法。讲定价公式可以写成 pde 的好处是可以使用现成的 pde 数值方法。此外，ito processes 和 levy processes 是特殊的 semimartingale。用 semimartingale 做金融建模的好处有两点：1、semimartingale 作为 stochastic integrator，是从一致度量 (uniform metric) 下可料 (predictable) 被积过程所形成的空间到随机变量 (topologized by convergence in probability) 所形成的空间的连续线性映射，这种性质对应于金融资产价格的稳健性，通俗地讲就是：如果你对投资策略施加一个小小的扰动，最后投资组合的价值在某种意义下也会只有相应较小的扰动。因此用 semimartingale 模拟金融价格是合理的。2、semimartingale 组成的空间在 emery topology (metrizable) 下是完备的；这个性质加上一个比较符合经济逻辑的无套利假设 (no free lunch with van**hing r**k, nflvr)，可以推出存在 sigma-martingale measure，反之亦然；这是目前最广义的套利定价理论，它的特殊形式是：1、在离散模型中，无套利等价于存在等价鞅测度，2、在 ito processes 中，nflvr 等价于存在等价局部鞅测度 (equivalent local martingale measure)，而 nflvr 可以推出无套利。这里可以参考 a general version of the fundamental theorem of asset pricing, delbaen, schachermayer，慎入，作者均是泛函分析领域的大牛，教过无数顶尖分析和概率领域的学生，写的文章非常艰深；前者也是鄙人所在学校 eth zurich 概率论与金融数学组的退休教授，他们的学术成果请自行 scholar.google；笔者的老师用了大约20学时教相关的半鞅知识，20学时教这篇论文)。简而言之，用这两种随机过程模拟价格是可以满足无套利的，因此可以用鞅方法定价，这即是用这两种过程建模的好处之二。在衍生品定价问题中，一般假设 underlying price process 服从例如上述某种随机过程，定价则是利用金融工具的复制（超复制 super-replication）等方法，在特定金融市场的假设（比如无套利，或者更特殊的假设 nflvr；又比如自由买卖假设；假设很重要!!!）下求得一个该金融工具的无套利价格，以及对应的复制（或超复制）策略。当然（超）复制问题大概涉及两个数学问题，一个是：optional decomposition theorem，这个定理与最广义的 ftap 有着天然数学美感的交互；另一个是随机控制论中的 stochastic target problem，问题是如何找到一个期初价格和交易策略使得期末 payoff 被（超）复制。 总之，不论在何种方法和假设下，资产定价理论中都用随机过程模拟资产价格。concrete example**rownian motion，这是搞金融数学不得不懂的随机过程，略，请参考：stochastic calculus for finance ii, steven shrevepo**son processes，compound po**son processes 在金融数学中的应用之一是：在结构定价问题中，我们假设资产过程除了布朗运动驱动的部分之外，还有跳跃，而跳跃经常是由这两种过程模拟的；更一般地，我们还可以假设资产价格过程服从更广义的跳跃形式，该跳跃形式存在于 levy processes, affine processes 或者 continuous state branching processes 中，一般称作 levy-type jump 。 levy processes 可以看做 weak closure of compound po**son processes；levy process 区别于 brownian motion 和 compound po**son process 的地方在于，levy process 还有一项 square integrable martingale，它可以理解为是 intensity 为无穷大、跳跃幅度无穷小（因此有可积性）的 compensated compound po**son，在 ito-levy decomposition 中，它是由可数个 compound compensated po**son processes 组成的。在模型的微分形式中，跳跃和布朗运动驱动的部分经常是线性存在。关于 levy processes，请参考introductory lectures on fluctuations of levy processes, kyprianoulevy processes and stochastic calculus, applebaumrenewal processes，levy processes 经常被用于金融保险中的 ruin 问题，鉴于这已经超越我的知识范畴，在此不详细讨论，一本可能的参考文献是：introductory lectures on fluctuations of levy processes, kyprianou除衍生工具性定价问题，在金融控制问题中，一般也假设资产过程价格或者其他相关过程服从某种随机过程。比如在最简单的 merton problem 中，我们假设资产价格服从多维几何布朗运动。又比如在 jacod 和 shiryayev 在1993年发表的关于 optimal dividend 的文章中，公司的价值服从一个带线性漂移的布朗运动减去一个左极限右连续的红利支付过程，然后用一个停时 (stopping time) 使其停止于价值首次为0的时刻。随机过程在金融中也可以描述资产价格之外的过程。比如sde可以描述短期利率，在此请参考stochastic calculus for finance ii, steven shreve关于伊藤过程驱动的高级利率模型，比如 affine process，请参考term structure models: a graduate course, damir filipovic随机过程还可以描述除了价格、利率之外的金融变量。比如在著名数理金融学家 darrel duffie 写的关于 intensity based credit r**k model 的文章中（原文叫 credit r**k modeling with affine processes, duffie），假设 default intensity 服从 affine process，则可违约债券定价形式与短期利率下的债券定价有相同的形式和计算方法，只是将短期利率改写成违约强度而已。关于 affine process，请参考affine process and applications in finance, duffie, filipovic, schachermayertransform analys** and asset pricing for affine jump-diffusions, duffie, pan, singleton以及以上文到的那本讲 term structure 的书：term structure models: a graduate course, damir filipovic在kmv模型中，假设公司价值服从某个随机过程，比如几何布朗运动。以上这两种随机过程在信用风险中的应用均可以在 darrel duffie 的书 credit r**k: pricing, measurement, and management 中找到。随机过程也可以描述衍生金融工具的价格。比如我们知道欧式期权的 payoff （在这里是期末价值），同时知道 underlying asset price process，我们可以论证欧式期权的价格过程满足倒向随机微分方程 (bsde)；如果underlying asset price processes 满足 markovian structure，则该 bsde为一个前向－倒向随机微分方程 (fbsde)；其中方程期末条件是 payoff，方程生成元 (generator) 与 underlying price 相关；方程有一对解，第一个解是期权价格过程，第二个解则对应欧式期权在该市场下的复制策略。如果假设 underlying process 是几何布朗运动，则该 bsde 为线性 bsde，其解的形式就是欧式期权的定价公式：风险中性测度下期末值贴现的期望。相关文献请参考：backward stochastic differential equations in finance: karoui, peng, quenez类似地，bsde也可以描述效用，称作随机微分效用 (stochastic differential utility)，可以参考：stochastic differential utility, duffie, epstein此外 marek musiela，rama cont，tomas **，rene carmona 等人也尝试过用随机偏微分方程 (stochastic partial differential equations，可以近似理解为用无穷维随机微分方程或 banach 空间取值的随机微分方程) ；用 spde 建模就是用 spde 来模拟一个取值为连续函数的 forward rate curve 演化过程。这应该就是 heath-jarrow-morton-musiela，请参考：stochastic pdes and term structure models, musielatowards a general theory of bond markets，tomas **, et almodeling term structure dynamics: an infinite dimensional approach, rama continterest rate models: an infinite dimensional stochastic analys** perspective, rene carmona当时实务中并不需要这么多高深的数学知识。只要能明白概率论，应用随机过程，随机分析（基本内容一般包括 stochastic integral, sde，特别是与 ito processes 相关的内容）就能看懂绝大多数常用模型了。如果是做金融数学学术，则额外还需要专攻以下方向中的一个或多个： levy process, affine process, backward stochastic differential equations, semimartingale, stochastic control, stochastic differential games, stochastic pde, 等。除了概率论，金融相关的数学还涉及偏微分方程（及黏性解），控制论，数值分析，统计计量等。============monte carlo===========monte carlo 最早是摩纳哥**的名字，笔者曾在七月造访。『monte carlo』算法一般是指，利用随机抽样的方法，获得一些随机系统的统计量或者参数。比如你有一颗硬币，你想知道掷出后获得正面的概率，那么你通过大量试验以后，可以利用获得正面的频率来估计，这也是中心极限定理的结果。金融中的一个应用是，通过 mc 来模拟多条标的资产的价格走势，代入形式为求概率期望的定价公式就可以求出估计的期权价格的模拟值。此方法则是实现定价的 mc 方法。将扔硬币和 brownian motion 联系起来的数学定理是 donsker invariance principle：我们可以想象用硬币反复地大量地投，减小面值 (+\epsilon, -\epsilon)，同时减小投币时间间隔 (\delta)，那么累积值过程在某种意义下收敛于布朗运动。mc 具体还有很多其他金融应用，比如求某一个风险度量下的风险值。============machine learning===========『机器学习』是一门学科也可以算是方法。我在这领域涉足不深，曾经学习的是主要基于数据、利用回归分析、贝叶斯理论等方法种决策树并用它投票，用以实现模式识别、分类和预测等问题。具体方法有 adaboost，bagging prediction，random forest 等。假设你是银行数据分析师，你有客户的数据，比如年龄，性别，年收入等。如何根据这些数据来简单的构造一个信用分类法则是机器学习的一个简单应用。 20210311