如何设计通带,阻带转折频率

优化考虑1)增加过渡带非零点取样点,改善止带衰减特性提高取样点数(增加n),压缩过渡带70 db250 db120 db无止带衰减过渡带宽过渡带非零点nπ2nπ4nπ66.3频率抽样设计方法38wei@ustc.edu.cn2)优化非零点取值选择h1,h2,使()()dhhωωδ ≤()()max mindhhωω =() ωjdeh1ω1h2h6.3频率抽样设计方法通带止带39wei@ustc.edu.cnh1与h2分别是对应频率点内插函数的系数h(ejω)是h1,h2的线性函数设hd(ejω)是低通,通带至第m-1个采样点截止则6.3频率抽样设计方法()), ,(2sin2121hhfennehnjjωωωω =40wei@ustc.edu.cn''101() ( )1221() ()211()()sin( )21sin( ) sin( )2221sin( ) sin( )22()sin( )2kjmnkmmjjnnnm nmjjnnkjnnknmhkefknhe hemmnnhe henm nmnnhkeknππαπβπβ παπωπωπ ωπωωππωπ=+ + ++ += =+++ +++∑∑6.3频率抽样设计方法41wei@ustc.edu.cn6.3频率抽样设计方法() khπ2πh1h1h2h2ω42wei@ustc.edu.cn6.3频率抽样设计方法低通滤波器:ωp=0.2π,ωs=0.3π,δ> 50db00. 20.3100.51frequenc y s ample: m= 20frequenc y ( pi)hr(k )05101520-0. 100.10.20.3impuls e res pons enh(n)00. 20.3100.51magnit ude res pons efrequenc y ( pi)hr(w)00.20.31-60-40-200magnit ude res pons efrequenc y ( pi)db43wei@ustc.edu.cn6.3频率抽样设计方法过渡带1点展宽,未优化00.20. 3100.51frequenc y s am ple: m = 40frequenc y ( pi)hr(k )010203040-0. 100.10.20.3impuls e res pons enh(n)00.20. 3100.51m agnit ude res pons efrequenc y ( pi)hr(w)00.20.31-60-40-200m agnitude res pons ef requenc y ( pi)db44wei@ustc.edu.cn6.3频率抽样设计方法过渡带1点展宽,优化00. 20. 3100. 51frequenc y s ample: m=40frequenc y ( pi)hr(k )010203040-0. 100. 10. 20. 3impuls e res pons enh(n)00. 20. 3100. 51magnit ude res pons efrequenc y ( pi)hr(w)00. 20. 31-60-40-200magnit ude res pons efrequenc y ( pi)db45wei@ustc.edu.cn6.3频率抽样设计方法过渡带2点展宽,未优化00.20.3100.51frequenc y s am ple: m = 60frequenc y ( pi)hr(k )0204060-0. 100.10.20.3im puls e res pons enh(n)00.20.3100.51m agnitude res pons efrequenc y ( pi)hr(w)00.20.31-60-40-200m agnitude res pons efrequenc y ( pi)db46wei@ustc.edu.cn6.3频率抽样设计方法过渡带2点展宽,优化00. 20.3100.51frequenc y s ample: m= 60frequenc y ( pi)hr(k )0204060-0. 100.10.20.3impuls e res pons enh(n)00. 20.3100.51magnit ude res pons efrequenc y ( pi)hr(w)00.20.31-60-40-200magnit ude res pons efrequenc y ( pi)db47wei@ustc.edu.cn6.4fir滤波器的等波纹逼近48wei@ustc.edu.cn6.4fir滤波器的等波纹逼近一,基本原理幅度响应优化设计:带内误差最少过渡带最窄系统阶数最低在通带和止带内分别进行等波纹逼近,()()()[]ωωωdhhe =()(){}ωωωeeamaxmin∈=最大误差极小化49wei@ustc.edu.cn()ωh11δ+111δ 2δ2δ ω6.4fir滤波器的等波纹逼近50wei@ustc.edu.cn6.4fir滤波器的等波纹逼近线性相位fir滤波器幅度特性的一般表达:()()()ωωωpqh=p(ω)表达为r个余弦谐波函数之和,() ()∑==10cos~rnnnapωω51wei@ustc.edu.cnp(ω)q(ω)n奇偶性h(n)对称性偶数奇对称奇数奇对称偶数偶对称1奇数偶对称2cosω()ωsin2sinω()∑=2/)1(0cos~nnnnaω()∑=12/0cos~nnnnbω()∑=2/)3(0cos~nnnncω()∑=12/0cos~nn**ω线性相位4种情况下q(ω)与p(ω)的定义52wei@ustc.edu.cn()()()^^ [ ]dwh pωωω= 设计目标使加权逼近误差函数为等波纹,chebyshev逼近这里,()()()()[]dewh hωωωω= ()()()()()()ωωωωωωqhhqwwdd= =^ ^,6.4fir滤波器的等波纹逼近选择一组系数使(){}na~()(){max }minaeeωωω∈=53wei@ustc.edu.cn6.4fir滤波器的等波纹逼近解的存在性:交替定理p(ω)是的chebyshev逼近的充要条件:e(ω)在中,至少有r+1的极值点{ωi,i=1,2,.......,r+1},使)(^ωdha∈ω|)(|max|)(|r ......, 2, 1, )()(1ωωωωωeeieeaiii∈+== =r是用于逼近的余弦谐波函数的个数54wei@ustc.edu.cne(ω)的极值由两部分组成:h(ω)的极值点e(ω)独有的极值点,h(ω)的频率边界点6.4fir滤波器的等波纹逼近()ωh11δ+111δ 2δ2δ ωh(ω)的极值点h(ω)的频率边界点55wei@ustc.edu.cn6.4fir滤波器的等波纹逼近极值点分析:4 种线性相位fir 滤波器极点数neh(ω)的余弦个数n奇偶性h(n)对称性≤偶数奇对称≤奇数奇对称≤偶数偶对称≤奇数偶对称21+n2n21 n2n21+n2n21 n2n56wei@ustc.edu.cn结论:若h(ω) 是由r个余弦函数组成,则最多提供r个极点交替定理要求r 个余弦函数和至少有r+1个极点r 个可能极点由h(ω) 提供,其余极点由e(ω) 提供幅度值每变换一次,在边界上能提供2 个极值点特别地,e(ω)取满它所有可能有的极点数目时:最多波纹滤波器(超波纹滤波器)设计6.4fir滤波器的等波纹逼近57wei@ustc.edu.cn带通误差函数e(ω) 提供4 个边界极点ω5 3 16 4 29 710 8()ωh9 7 5 3 110 8 6 4 2ω()ωe6.4fir滤波器的等波纹逼近58wei@ustc.edu.cn二,最多波纹滤波器设计以低通滤波器为例系统阶数n通带起伏δ1止带起伏δ2通带截止频率ωc止带起始频率ωs6.4fir滤波器的等波纹逼近截止频率ωc,止带起始频率ωs不易精确实现59wei@ustc.edu.cnh(n) 偶对称,n奇数最多波纹设计,误差函数e(ω) 有个极值其中h(ω) 取满个极值221++n6.4fir滤波器的等波纹逼近21+nh(ω)ωcωsω60wei@ustc.edu.cn极值点分配通带止带clωωωωω== 0321,,,,kπωωω==+++25 21nlslω,,,k截止频率ωc的与止带频率ωs的顺序位置:+=25nlcπω6.4fir滤波器的等波纹逼近61wei@ustc.edu.cn逼近方程()个()()() ==+=∑∑∑11211cos~1cos~1~δωδωδnnannanalm()()()()= ==∑∑∑=++20222121~1cos~cos~δδωδωnnnllnannannam通带止带6.4fir滤波器的等波纹逼近221++n62wei@ustc.edu.cn6.4fir滤波器的等波纹逼近⑴πωn==+25 01,ω⑵ωc,ωs不是h(ω)的极值点;⑶其余-2个极值点方程:21+n63wei@ustc.edu.cn6.4fir滤波器的等波纹逼近()()==∑∑0 cos~dd0 cos~dd12lnnannaωωωωωωm通带止带()()==++∑∑0 cos~dd0 cos~dd232nlnnannaωωωωωωm64wei@ustc.edu.cnn+1个未知数,()()321220 nnaaωω+%%kk,,,,,解法1,用数值迭代法,求解非线性方程组,解出,得到最优逼近的滤波器解法2,lagrange 多项式内插,避免非线性方程求解,用lagrange 多项式逼近,求各极值点,解出(){} ~na()ωhn+1个非线性方程(){} ~na65wei@ustc.edu.cn最多波纹法优化的意义:指标n,δ1和δ2按要求实现调整ωc与ωs的位置,过渡带宽优化,最窄——ωc与ωs不要求精确实现6.4fir滤波器的等波纹逼近66wei@ustc.edu.cn6.4fir滤波器的等波纹逼近ωcωsωcωsh(ω)ωh(ω)ω67wei@ustc.edu.cn三,remez交换算法设计条件:滤波器阶数n,边界频率ωc,ωs,频带权重w(ω)原理:通带,止带等波纹逼近目标:以多项式近似确定极值频率点系统函数()ωhωπωω sc6.4fir滤波器的等波纹逼近68wei@ustc.edu.cn6.4fir滤波器的等波纹逼近误差方程()()()]^[^ωωωphwd =()()()()[]ωωωωhhwed =()≤≤≤≤=πωωωωkwsc10 1ω极值点数r 由滤波器阶数n 决定在极值点上的误差()()()()() 1]^[^δωωωωkkkdkkphwe = =k=0,1,……,r69wei@ustc.edu.cn算法过程:①极值频率点初值:均匀分布slωω=+1() ++ =1rlcscωωπω{}rllωωω 21,,,k++6.4fir滤波器的等波纹逼近通带{}lωωω 10,,,kclωω=止带70wei@ustc.edu.cn6.4fir滤波器的等波纹逼近()∑∑=rkkrkkkdpdp00coscoscoscosωωωωω②形成关于p(ω)的多项式内插公式和逼近误差δ∏≠= =**iikkd0coscos1ωω()()()kkkdkwhpωδω^1^ =()()()∑∑===1010^1^rnkkkrnkdkwdhdωωδ71wei@ustc.edu.cn6.4fir滤波器的等波纹逼近③在密集的频率点上计算误差公式() () ()]^[^ωωωphwed =其中p(ω)为多项式内插公式若有频率点ωj使得|e(ωj)|>δ则选取ωj作为新的极值频率点,返回①直至极值频率收敛,迭代完成迭代过程中,与保持不变④根据多项式内插公式p(ω)求出{a(n)}a)idft;b)求解线性方程slωω=+1clωω=72wei@ustc.edu.cn四,算法讨论1)remez算法处理不要求ω=0, π为极值点不是最多波纹滤波器2)对给定的n,ωc,ωs及w(ω),将有一个最小的,不可事先设置的等波纹逼近误差δ过渡带ωs-ωc,事先确定,可设置3)通带与止带间的误差分配由权重w(ω)调节6.4fir滤波器的等波纹逼近()≤≤≤≤=πωωωωkwsc10 1ω通带波纹kδ止带波纹δ73wei@ustc.edu.cn4)限定条件下的优化滤波器阶数n,带内误差,过渡带最多波纹算法带内误差与n 给定,算法选择过渡带,使之最窄remez算法过渡带与n 给定,算法选择带内误差,使之最小其他算法误差与过渡带同时给定,n最小6.4fir滤波器的等波纹逼近 20210311