幂级数和函数公式

?Wendy?? 2024-06-01 03:03:59

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幂级数的和函数一、幂级数的运算：∞∞∑∑设an⋅xn与bn⋅xn两个幂级数，收敛半径分别为r1,r2,则在它们n=0n=0的公共收敛域内可以进行如下的四则运算：i加法和减法：∞∞∞∑∑∑λan⋅xn±μbn⋅xn=(λan±μbn)xnn=0n=0n=0其中λ、μ为常数。当r1≠r2时，上式的收敛半径为r=min{r1,r2ii乘法和除法：∞∞∞∑∑∑anxn⋅bnxn=c0xnn=0n=0n=0其中cn=a0bn+a1bn−1+⋅⋅⋅+anb1二、和函数：∞∑∑设∞anxn的收敛半径为r(r>0)，s(x)=anxn为和函数，则有以下性质n=0n=0成立i和函数在（-r,+r）内可导，并且有逐项求导公式：∞∞∑∑s′(x)=(anxn)′=nanxn−1n=0n=0且，同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。ii由此，和函数s（x）在（-r,+r）内任意次可导，并有逐项求导公式：∞∑s(k)(x)=(anxn)(k)n=0∞∑=n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−k+1)anxn−kn=0它的收敛半径仍然为r。iii在（-r,+r）内逐项积分公式成立∫∑∫∑x∞xs(t)dt=0n=00an**t=∞n=0anxn+1n+1并且，逐项积分后收敛半径也不变∞∑iv若幂级数anxn在x=r(-r)出收敛，则该幂级数：n=0（a）∞∑limx→r−s(x)=n=0anrn∞∑limx→r+s(x)=n=0 20210311

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