关于公式

我为你蓝的那片海 2024-06-27 15:36:05

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1.关于集合元素个数的“容斥原理”：①card(a∪b)＝carda+cardb-card(a∩b)；②card(a∪b∪c)＝carda+cardb+cardc-card(a∩b)-card(b∩c)-card(c∩a)+card(a∩b∩c)；2.换底公式的变形(用log(a)(b)表示“以a为底b的对数”):①log(a^m)(b^n)=(n/m)log(a)(b),②log(a)(m)*log(b)(n)=log(a)(n)*log(b)(m),③a^[log(c)(b)]=b^[log(c)(a)].3.等差数列中的公式：①an=am+(n-m)d,②a(n+m)=an+md=am+nd,③s(n+m)=sn+sm+nmd,④若m+n=p+q=2t,则am+an=ap+aq=2at.4.等比数列中的公式：①an=am*q^(n-m),②a(n+m)=an*q^m=am*q^n,③s(n+m)=sn+sm*q^n=sm+sn*q^m,④若m+n=p+q=2t,则am*an=ap*aq=(at)^25.三角函数公式：①半角的正切：tan(x/2)=(1-cosx)/sinx=sinx/(1+cosx),②正弦平方差：(sinx)^2-(siny)^2=sin(x+y)sin(x-y),③3倍角公式：sin3α＝3sinα-4sin^3α=4sinαsin(60°+α)sin(60°-α),cos3α=4cos^3α-3cosα=4cosαcos(60°+α)cos(60°-α),tan3α＝以上两式相除。6.两个向量公式：①点d是δabc的bc边上的中点，则:向量ad＝(向量ab+向量ac)/2；②点e、f分别是空间四边形abcd的边ab、cd的中点，则：向量ef＝(向量ad+向量bc)/2。7.用不等式求最值：①ab≤[(a+b)/2]^2≤(a^2+b^2)/2,(a,b都是实数)②(ax+by)^2≤(a^2+b^2)(x^2+y^),(a,b都是实数)③a^2/x+b^2/y≥(a+b)^2/(x+y),(a,b,x,y都是正数)④√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+b)^2+(c+d)^2]a,b,c,d都是正数)⑤√(a^2+b^2)-√(c^2+d^2)≤√[(a-b)^2+(c-d)^2]a,b,c,d都是正数).8.直线方程的“横截式”：过定点（a，0）的直线方程是x＝ky+a,当k≠0时，1/k是直线的斜率。9.圆的方程：①圆的直径式方程：以点a(x1,y1),b(x2,y2)的连线段为直径的圆的方程是：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.②圆系方程：经过圆f1(x,y)=0和f2(x,y)=0的交点的圆的方程是：f1(x,y)+λf2(x,y)=0（其中λ≠-1，这些圆不包含f2）。（实际上这里的f1、f2可以是两直线或两椭圆或两双曲线）10.圆的切线方程：①过圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2上一点(x0,y0)的切线方程是：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r^2.②过圆x^2+y^2+dx+ey+f=0上一点(x0,y0)的切线方程是：(x0)x+(y0)y+d(x+x0)/2+e(y+y0)/2+f=r^2.11.椭圆与双曲线的“焦点三角形”的面积公式：椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b)和双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的焦点是f1、f2,点p是曲线上一点，∠f1pf2=θ.则sδpf1f2＝b^2/(1-cosθ).特别，当θ＝π/2时,sδpf1f2＝b^2.12.对称问题：①已知线段ab的中点坐标是m(x0,y0),则可设a(x0+a,y0+b),b(x0-a,y0-b),其中参数a，b满足：直线ab的斜率＝b/a.②点(x0,y0)关于点(a,b)的对称点坐标是(2a-x0,2b-y0)③函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称的图象的解析式是y=2b-f(2a-x).④函数y=f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的图象的解析式是y=f(2a-x).⑤曲线f(x,y)=0关于点(a,b)对称的图象的解析式是f(2a-x,2b-y)=0.⑥曲线f(x,y)=0关于直线x＝a对称的图象的解析式是f(2a-x,y)=0.⑦曲线f(x,y)=0关于直线y＝b对称的图象的解析式是f(x,2b-y)=0.13.排列问题：①部分元素定序排列：在n个元素的全排列中，有r个元素必须按指定顺序排列的排列种数是n!/r!.②几类相同元素的全排列：有k类相同的元素，分别有n1,n2,...,nk个，总数n1+n2+...+nk=n,则这n个元素的全排列数是n!/(n1!n2!...nk!).③环状排列：从n个不同的元素中每次取出m个元素排成一个圆圈，则其排列种数是a(n,m)/m.④错位排列：n个正整数1，2，3，...，n任意排成一行a1,a2,a3,...,an,要求ai≠i(i=1,2,...,n)的全排列称为n个元素的错位排列，其排列数是dn＝(n!)[1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^k*(1/k!)+...+(-1)^n*(1/n!)].⑤恰有r个元素对号入座的排列：n个正整数1，2，3，...，n任意排成一行a1,a2,...,an,其中有r个元素恰好都排在自己的号位上的排列数是d(n-r)＝(n!/r!)[1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-r)*(1/(n-r)!)].14.有重复元素的组合：从n个不同的元素中，取r个可以重复的元素而不考虑顺序，称为允许重复的组合，其组合数记为h(n,r).重复组合的典型模型：把r个颜色相同的小球放入n个编号不同的盒子中，且每个盒子放球数量不加限制，则其放法种数是:h(n,r)＝c(n+r-1,r)=(n+r-1)!/[r!(n-1)!]. 20210311

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