求解：怎样构造柯西二维不等式项量？

笑看﹌人生～ 2024-11-17 07:25:41

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编辑本段柯西不等式二维形式　　(a+b)(c+ d)≥(ac+bd) 　　等号成立条件：ad=bc (a/b=c/d) 　　扩展：((a1)+(a2)+(a3)+...+(an))((b1)+(b2)+(b3)+...(bn))(a1·b1+a2·b2+a3·b3+...+an·bn) 　　等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn（当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0，不考虑ai:bi，i=1,2,3,…,n)三角形式　　√(a+b)+√(c+d)≥√[(a+c)+(b+d)] 　　等号成立条件：ad=bc 　　注：“√”表示平方根向量形式　　|α||β|≥|α·β|，α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，...，bn)(n∈n，n≥2) 　　等号成立条件：β为零向量，或α=λβ(λ∈r)。一般形式　　(∑(ai))(∑(bi)) ≥ (∑ai·bi) 　　等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。　　上述不等式等同于图片中的不等式。　　推广形式　　(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn…)≥[(πx)^(1/n)+(πy)^(1/n)+…]^n 　　注：“πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均　　不小于各列元素之和的几何平均之积。（应为之积的几何平均之和) 　　概率论形式　　√e(x) √e(y)≧∣e(xy)∣向量形式的证明　　令m=(a1,a2，…，an)，n=(b1,b2，…，bn) 　　m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos<m,n>=√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn) ×cos<m,n> 　　∵cos<m,n>≤1 　　∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn) 　　注：“√”表示平方根。 20210311

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