斐波那契数列的公式是什么

蛇精病院大夫疯了。 2024-11-15 15:06:13

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斐波那契：11，2，3，5，8，13，21…… 如果设f(n)为该数列的第n(n∈n+)。那么这句话可以写成如下形式：f(1)=f(2)=1,f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n≥3)显然这是一个线性递推数列。通项公式的推导方法一：利用特征方程线性递推数列的特征方程为：x^2=x+1解得x1=(1+√5)/2, x2=(1-√5)/2.则f(n)=c1*x1^n + c2*x2^n∵f(1)=f(2)=1∴c1*x1 + c2*x2c1*x1^2 + c2*x2^2解得c1=1/√5，c2=-1/√5∴f(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】通项公式的推导方法二：普通方法设常数r,s使得f(n)-r*f(n-1)=s*[f(n-1)-r*f(n-2)]则r+s=1, -rs=1n≥3时，有f(n)-r*f(n-1)=s*[f(n-1)-r*f(n-2)]f(n-1)-r*f(n-2)=s*[f(n-2)-r*f(n-3)]f(n-2)-r*f(n-3)=s*[f(n-3)-r*f(n-4)]……f(3)-r*f(2)=s*[f(2)-r*f(1)]将以上n-2个式子相乘，得：f(n)-r*f(n-1)=[s^(n-2)]*[f(2)-r*f(1)]∵s=1-r，f(1)=f(2)=1上式可化简得：f(n)=s^(n-1)+r*f(n-1) 那么：f(n)=s^(n-1)+r*f(n-1)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*f(n-2)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*f(n-3)……= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*f(1)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)（一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和）=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)=(s^n - r^n)/(s-r)r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2则f(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} 20210311

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