能否将一个正方形分割为五个正方形?

余袂(桃婳)闭关赶工期 2024-05-30 13:22:37
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7---ok4个1*13个2*25不行如果一个正方形a可以分成小正方形,则小正方形可以拼成大正方形a。 考虑小正方形的n个顶点组成的凸包(凸包为组合几何中的概念,可理解为n个钉子,用橡皮筋套,所形成的凸多边形,n个钉子全在凸包的边上或内部),因为大正方型分割时,所有碎片的边缘上的所有点的凸包为大正方型,所以只有凸包为正方形时,才有可能使小正方形拼成大正方形所以现在假设凸包已经为正方形,这个正方形的顶点为xyzt,顶点xyzt都会被钉钉子,那么顶点x一定会成为某个小正方形的顶点,(如果x在某个小正方形边上,则小正方形的这条边的两个端点必有一个在凸包之外)又因为角txy是直角,以x为顶点的小正方形(设为pqrx)的角rxp也是直角,所以r和p都不在大正方形凸包外部等价于r在xt上,p在xy上。所以z不可能是pqrx的顶点,否则只有一个正方形了,所以z处也会有一个小正方形(道理同x的讨论),但是x和z处的正方形不可能包含t和y两个点,t,y两点都是如此,所以如果分,则至少会分为4个,所以2,3都是不可能的。然后再在已有4个的前提下,按同样的方法,分情况讨论,可以说明5不可 20210311
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