问一道数列题和圆锥曲线题

Alicex 2024-05-25 23:47:53

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1.解:(1)设切点p(acosθ,bsinθ),θ∈(0,π/2)切线方程x/(a/cosθ)+y/(b/sinθ)=1,所围面积s(θ)=ab/sin2θ≤ab(sin2θ=1取到”=”)得ab=√3 (1)因ob的斜率为√6/66=1/(11√6),设b(11√6m,m) (m>0)有(726/a^2+1/b^2)m^2=1 (*)a(-c,-b^2/a) f2(c,0)由a、f2、b共线可得:1/m^2=((11√6)/c-2a/b^2)^2 (**)将(*)式和(**)式相乘得726/a^2+1/b^2=((11√6)/c-2a/b^2)^2 （2）又a^2=b^2+c^2 （3）由(1)(2)(3)式解得 a=√3, b=1, c=√2所以椭圆方程是 x^2/3+y^2=1(2)设l的斜率为k由已知设c1(u,ku),d(u,-ku)(u>0,k>0)有 u^2+3(ku)^2=3即 3/u^2=3k^2+1 (4)直线oc1方程:kx-y=0过d1垂直于oc1的直线方程:x+ky+(k^2u-u)=0则原点到x+ky+(k^2u-u)=0的距离为1可得 (k^2-1)^2u^2=k^2+1 (5)(4)(5)式相乘并化简得:k^2=1/5所以 k=-√5/5或k=√5/5(3) f2(√2,0)直线mn的方程:x+ky-√2=0原点到x+ky-√2=0的距离d^2=2/(k^2+1) (d>0)即k^2=2/d^2-1 (6)要证mn与圆相切,只需证d=1由(2)|oc|^2=(k^2+1)u^2=3(k^2+1)/ (3k^2+1)=3/(3d^2-1)即 |oc|^2=3/(3d^2-1)由直线mn的方程:x+ky-√2=0 和x^2/3+y^2=1 可求得|mn|^2=12/(d^2+1)^2由已知得(1/4)*|oc|^2*|mn|^2= (1/4)* (3/(3d^2-1))*(12/(d^2+1)^2)=9/8即 (d^2-1)(3d^4+8d^2+9)=0 (d>0) 得 d=1所以直线mn与圆相切。2. 约定: [ ]内是下标解:(1) 由已知 a+ad=2(2a+d) 且a,d∈n+有d≠3 且 a=2d/(d-3)>d 即3<d<5d=4,a=8得a[n]=4(n+1),b[n]=8*4^(n-1)a[n]=2n(n+1)+4n, b[n]=(8/3)(4^n-1)a[n]*b[n]/32=(1/6)(n(n+1)+2n)(4^n-1)=(2/3)(n+1)n.4^(n-1)+(4/3)n n.4^(n-1)-(1/6)(n^2+3n)=(2/3)c[n]+(4/3)d[n]-(1/6)e[n]分别对{c[n]}、{d[n]}、{e[n]}求和即可得到{a[n]*b[n]/32} 的和。其中{c[n]}的前n项和c[n]可用导数求得(要点:(n+1)nx^(n-1)=(x^(n+1))’’)(如果是求{a[n]*a[n]/32}的和问题就比较简单)(2) n=8时4n(n-1)+na=73a 且a,d∈n+有d≠73 且a=(2^5*3^2*73)/(73-n)-4(n+72) 则a>0得 1<n<73又a∈n+,得73-n只能是2^5*3^2*73的在[2,72]内的约数当73-n=2时 n=71,a=9940当73-n=3时 n=70,a=6440当73-n=4时 n=69,a=4692当73-n=6时 n=67,a=2948当73-n=8时 n=65,a=2080当73-n=9时 n=64,a=1792当73-n=12时 n=61,a=1220当73-n=16时 n=57,a=798当73-n=18时 n=55,a=660当73-n=32时 n=41,a=205当73-n=36时 n=37,a=148当73-n=48时 n=25,a=50(3)由已知得 d>1若a[n]=na+n(n-1)d/2=a(d^n-1)/(d-1)=b[n-6]我的思路是:先证明其解的有限性,再借助于计算机求解,因手工计算量太大了。(具体解决办法我还未找到)(这二道题已不是一般学生能完成的内容,作为研究性问题还不错,从题目上看,你也是数学行家,我的解答供探讨) 20210311

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