逐步逼近式计算16进制加法

有位著名的数学家说过，“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家都有着深远的影响”。对于数学史有着深厚研究的**科学院数学与系统科学研究院研究员李文林认为，数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。因而，数学史是人类文明史最重要的组成部分。近年来，李文林研究员执著地在**数学史领域求索，曾发表过大量关于数学史的研究论文。他专门为大学学生撰写的《数学史教程》，被广泛地应用于大学数学史学科的教学。他是上一届**数学会数学史分会的秘书长。不久前，李文林研究员还参与了一项重要的研究工作。**首届**最高科学技术奖获得者、著名数学家吴文俊先生设立了“数学与天文丝路基金”，用于资助年轻学者研究古代**与世界进行数学交流的历史，揭示部分东方数学成果如何从**经“丝绸之路”传往欧洲之谜。该研究旨在纠正世界科技界对**数学认识上存在的偏颇，通过对**古代数学遗产的进一步发掘，探明近代科学的源流，鼓舞**人在数学研究上的自信心和发愤图强的勇气。李文林作为该学术委员会组长参与了很多工作。 日前，本报记者采访了李文林研究员。李文林把**数学史称为波澜壮阔的中华文明史中最亮丽的篇章。在李文林的娓娓叙述中，**数学对于世界的卓越贡献，如盛开着的**文明之花，一朵朵展现开来。古代数学领跑世界**数学有着悠久的历史，14世纪以前一直是世界上数学最为发达的**，出现过许多杰出数学家，取得了很多辉煌成就。**数学的起源与早期发展，在古代著作《世本》中就已提到黄帝使“隶首作算数”，但这只是传说。在殷商甲骨文记录中，**已经使用完整的十进制记数。至迟到春秋战国时代，又开始出现严格的十进位制筹算记数。筹算作为**古代的计算工具，是**古代数学对人类文明的特殊贡献。关于几何学，《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左规矩，右准绳”。“规”是圆规，“矩”是直角尺，“准绳”则是确定铅垂方向的器械。这些都说明了早期几何学的应用。从战国时代的著作《考工记》中也可以看到与手工业制作有关的实用几何知识。战国(公元前475年～前221年)诸子百家与希腊雅典学派时代相当。“百家”就是多种不同的学派，其中的“墨家”与“名家”，其著作包含有理论数学的萌芽。如《墨经》(约公元前4世纪著作)中讨论了某些形式逻辑的法则，并在此基础上提出了一系列数学概念的抽象定义。在现存的**古代数学著作中，《周髀算经》是最早的一部。《周髀算经》成书年代据考应不晚于公元前2世纪西汉时期，但书中涉及的数学、天文知识，有的可以追溯到西周(公元前11世纪～前8世纪)。从数学上看，《周髀算经》主要的成就是分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用，其中关于勾股定理的论述最为突出。《九章算术》是**古典数学最重要的著作。这部著作的成书年代，根据考证，至迟在公元前1世纪，但其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。《周礼》记载西周贵族子弟必学的六门课程“六艺”中有一门是“九数”。刘徽《九章算术注》“序”中就称《九章算术》是由“九数”发展而来，并经过西汉张苍、耿寿昌等人删补。《九章算术》采用问题集的形式，全书246个问题，分成九章，依次为：方田，粟米，衰分，少广，商功，均输，盈不足，方程，勾股。其中所包含的数学成就是丰富和多方面的。算术方面，“方田”章给出了完整的分数加、减、乘、除以及约分和通分运算法则，“粟米”、“衰分”、“均输”诸章集中讨论比例问题，“盈不足”术是以盈亏类问题为原型，通过两次假设来求繁难算术问题的解的方法。代数方面，《九章算术》的成就是具有世界意义的，“方程术”即线性联立方程组的解法；“正负术”是《九章算术》在代数方面的另一项突出贡献，即负数的引进；“开方术”即“少广”章的“开方术”和“开立方术”，给出了开平方和开立方的算法；在几何方面，“方田”、“商功”和“勾股”三章处理几何问题，其中“方田”章讨论面积计算，“商功”章讨论体积计算，“勾股”章则是关于勾股定理的应用。《九章算术》的几何部分主要是实用几何。但稍后的魏晋南北朝，却出现了证明《九章算术》中那些算法的努力，从而引发了**古典几何中最闪亮的篇章。从公元220年东汉**，到公元581年隋朝建立，史称魏晋南北朝。这是**历史上的动荡时期，但同时也是思想相对活跃的时期。在长期独尊儒学之后，学术界思辩之风再起。在数学上也兴起了论证的趋势，许多研究以注释《周髀算经》、《九章算术》的形式出现，实质是要寻求这两部著作中一些重要结论的数学证明。这方面的先锋，最杰出的代表是刘徽和祖冲之父子。他们的工作，使魏晋南北朝成为**数学史上一个独特而丰产的时期。《隋书》“律历志”中提到“魏陈留王景元四年刘徽注九章”，由此知道刘徽是公元3世纪魏晋时人，并于公元263年撰《九章算术注》。《九章算术注》包含了刘徽本人的许多创造，完全可以看成是独立的著作，奠定了这位数学家在**数学史上的不朽地位。刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”和体积理论。刘徽在《九章算术》方田章“圆田术”注中，提出割圆术作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础，使刘徽成为中算史上第一位建立可靠的理论来推算圆周率的数学家。在体积理论方面，像阿基米德一样，刘徽倾力于面积与体积公式的推证，并取得了超越时代的成果。刘徽的数学思想和方法，到南北朝时期被祖冲之和他的儿子推进和发展了。祖冲之(公元429年—500年)活跃于南朝宋、齐两代，曾做过南徐州(今镇江)从事史和公府参军，都是地位不高的小官，但他却成为历代为数很少能名列正史的数学家之一。《南齐史》“祖冲之传”说他“探异今古”，“革新变旧”。球体积的推导和圆周率的计算是祖冲之引以为荣的两大数学成就。祖冲之关于圆周率的贡献记载在《隋书》中。祖冲之算出了圆周率数值的上下限：3.1415926<π<3.1415927。祖冲之和他儿子关于球体积的推导被称之为“祖氏原理”。祖氏原理在西方文献中称“卡瓦列利原理”，1635年意大利数学家卡瓦列利(b.c**alieri)独立提出，对微积分的建立有重要影响。之后的大唐盛世是**封建社会最繁荣的时代，可是在数学方面，整个唐代却没有产生出能够与其前的魏晋南北朝和其后的宋元时期相媲美的数学大家。**古典数学的下一个高潮宋元数学，是创造算法的英雄时代。到了宋代，雕版印书的发达特别是活字印刷的发明，则给数学著作的保存与流传带来了福音。事实上，整个宋元时期(公元960年—1368年)，重新统一了的**封建社会发生了一系列有利于数学发展的变化。这一时期涌现的优秀数学家中最卓越的代表，如通常称“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等，在世界数学史上占有光辉的地位；而这一时期印刷出版、记载着**古典数学最高成就的宋元算书，也是世界文化的重要遗产。贾宪是北宋人，约公元1050年完成一部叫《黄帝九章算术细草》著作，原书丢失，但其主要内容被南宋数学家杨辉著《详解九章算法》(1261年)摘录，因能传世。贾宪的增乘开方法，是一个非常有效和高度机械化的算法，可适用于开任意高次方。秦九韶(约公元1202年—1261年)在他的代表著作《数书九章》中，将增乘开方法推广到了高次方程的一般情形，称为“正负开方术”。秦九韶还有“大衍总数术”，即一次同余式的一般解法。这两项贡献使得宋代算书在中世纪世界数学史上占有突出的地位。秦九韶的大衍总数术，是《孙子算经》中“物不知数”题算法的推广。从“孙子问题”到“大衍总数术”关于一次同余式求解的研究，形成了**古典数学中饶有特色的部分。这方面的研究，可能是受到了天文历法问题的推动。**古典数学的发展与天文历法有特殊的联系，另一个突出的例子是内插法的发展。古代天算家由于编制历法而需要确定日月五星等天体的视运动，当他们观察出天体运动的不均匀性时，内插法便应运产生。早在东汉时期，刘洪《乾象历》就使用了一次内插公式来计算月行度数。公元600年刘焊在《皇极历》中使用了二次内插公式来推算日月五星的经行度数。公元727年，僧一行又在他的《大衍历》中将刘焊的公式推广到自变量不等间距的情形。但由于天体运动的加速度也不均匀，二次内插仍不够精密。随着历法的进步，对数学工具也提出了更高的要求。到了宋元时代，便出现了高次内插法。最先获得一般高次内插公式的数学家是朱世杰(公元1300年前后)。朱世杰的代表著作有《算学启蒙》(1299年)和《四元玉鉴》(1303年)。《算学启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了日本与**数学的发展。《四元玉鉴》则是**宋元数学高峰的又一个标志，其中最突出的数学创造有“招差术”(即高次内插法)，“垛积术”(高阶等差级数求和)以及“四元术”(多元高次联立方程组与消元解法)等。宋元数学发展中一个最深刻的动向是代数符号化的尝试，这就是“天元术”和“四元术”的发明。天元术和四元术都是用专门的记号来表示未知数，从而列方程、解方程的方法，它们是代数学的重要进步。**古代数学以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化数学模式与古希腊的以几何定理的演绎推理为特征的公理化数学模式相辉映，交替影响世界数学的发展。现代数学迎头赶上自**战争以后，西方列强的军舰与大炮使**朝野看到了科学与教育的重要，部分有识之士还逐步认识到数学对于富国强兵的意义，从而竭力主张改革国内数学教育，同时派遣留学生出国学习西方数学。辛亥**以后，这两条途径得到了较好的结合，有力地推动了**现代高等数学教育的建制。20世纪初，在科学与**的高涨声中，**数学家们踏上了学习并赶超西方先进数学的光荣而艰难的历程。1912年，**第一个大学数学系——北京大学数学系成立(当时叫“数学门”，1918年改“门”称“系”)，这是**现代高等数学教育的开端。20世纪20年代，是**现代数学发展道路上的关键时期。在这一时期，全国各地大学纷纷创办数学系，数学人才培养开始着眼于国内。除了北京大学、清华大学、南开大学、浙江大学，在这一时期成立数学系的还有东南大学(1921年)、北京师范大学(1922年)、武汉大学(1922年)、厦门大学(1923年)、四川大学(1924年)等等。伴随着**现代数学教育的形成，现代数学研究也在**悄然兴起。**现代数学的开拓者们，在发展现代数学教育的同时，努力拼搏，追赶世界数学前沿，至1920年末和1930年，已开始出现一批符合国际水平的研究工作。1928年，陈建功在日本《帝国科学院院报》上**《关于具有绝对收敛fourier级数的函数类》，中心结果是证明了一条关于三角级数在区间上绝对收敛的充要条件。几乎同时，g.哈代和j.李特尔伍德在德文杂志《数学时报》上也发表了同样的结果，因而西方文献中常称此结果为“陈-哈代-李特尔伍德定理”。这标志**数学家已能生产国际一流水平的研究成果。差不多同时，苏步青、江泽涵、熊庆来、曾炯之等也在各自领域里作出令国际同行瞩目的成果。1928—1930年间，苏步青在当时处于国际热门的仿射微分几何方面引进并决定了仿射铸曲面和旋转曲面。他在这个领域的另一个美妙发现后被命名为“苏锥面”。江泽涵是将拓扑学引进**的第一人，他本人在拓扑学领域中最有影响的工作是关于不动点理论的研究，这在他1930年的研究中已有端倪。江泽涵从1934年起出任北京大学数学系主任。熊庆来“大器晚成”，1931年，已经身居清华大学算学系主任的熊庆来，再度赴法国庞加莱研究所，两年后取得法国**博士学位。其博士论文《关于无穷级整函数与亚纯函数》、引进后以他的名字命名的“熊氏无穷级”等，将博雷尔有穷级整函数论推广为无穷级情形。从20世纪初第一批学习现代数学的**留学生跨出国门，到1930年**数学家的名字在现代数学热门领域的前沿屡屡出现，前后不过30余年，这反映了**现代数学的先驱者们高度的民族自强精神和卓越的科学创造能力。这一点，在1930年至1940年中的时期里有更强烈的体现。这一时期的大部分时间，**是处在**战争的烽火之中，时局动荡，生活艰苦。当时一些主要的大学都迁移到了敌后内地。在极端动荡、艰苦的战时环境下，师生们却表现出抵御外侮、发展民族科学的高昂热情。他们在空袭**的威胁下，照常上课，并举行各种讨论班，同时坚持深入的科学研究。这一时期产生了一系列先进的数学成果，其中最有代表性的是华罗庚、陈省身、许宝的工作。到40年代后期，又有一批优秀的青年数学家成长起来，走向国际数学的前沿并作出先进的成果，其中最有代表性的是吴文俊的工作。吴文俊1940年毕业于上海交通大学，1947年赴法国留学。吴文俊在留学期间就提出了后来以他的名字命名的“吴示性类”和“吴公式”，有力地推动了示性类理论与代数拓扑学的发展。经过老一辈数学家们披荆斩棘的努力，**现代数学从无到有地发展起来，从1930年开始，不仅有了达到一定水平的队伍，而且有了全国性的学术性组织和发表成果的杂志，现代数学研究初具规模，并呈现上升之势。1949年中华人民共和国成立之后，**现代数学的发展进入了一个新的阶段。新**的数学事业经历了曲折的道路而获得了巨大的进步。这种进步主要表现在：建立并完善了独立自主的现代数学科研与教育体制；形成了一支研究门类齐全、并拥有一批学术带头人的实力雄厚的数学研究队伍；取得了丰富的和先进的学术成果，其中达到国际先进水平的成果比例不断提高。改革开放以来，**数学更是进入了前所未有的良好的发展时期，特别是涌现了一批优秀的、活跃于国际数学前沿的青年数学家。改革开放以来的20多年是我国数学事业空前发展的繁荣时期。**数学的研究队伍迅速扩大，研究论文和专著成十倍地增长，研究领域和方向发生了深刻的变化。我国数学家不仅在传统的领域内继续作出了成绩，而且在许多重要的过去空缺的方向以及当今世界研究前沿都有重要的贡献。在世界各地许多大学的数学系里都有**人任教，特别是在美国，**数学家还在大多数名校占有重要教职。在许多高水平的国际学术会议上都能见到作特邀报告的**学者。在重要的数学期刊上，不仅**人的论著屡见不鲜，而且在引文中，**人的名字亦频频出现。在一些有影响的国际奖项中，**人也开始崭露头角。这一切表明，我国的数学研究水平比过去有了很大提高，与世界先进水平的差距明显地缩小了，在许多重要分支上都涌现出了一批优秀的成果和学术带头人。**人在国际数学界的地位空前提高了。李文林研究员表示，**数学的今天，是几代数学家共同拼搏奋斗的结果。2002年国际数学家大会在北京召开，标志着**国际地位的提高与数学水平的发展。他表示相信，在众多**科学家的共同努力下，**数学赶超世界先进水平，并在21世纪成为世界数学大国的梦想一定能够实现。近代数学日渐势微《四元玉鉴》可以说是宋元数学的绝唱。元末以后，**传统数学骤转衰落。整个明清两代(1368年—1911年)，不仅未再产生出能与《数书九章》、《四元玉鉴》相媲美的数学杰作，而且在清中叶乾嘉学派重新发掘研究以前，“天元术”、“四元术”这样一些宋元数学的精粹，竟长期失传，无人通晓。明初开始长达三百余年的时期内，除了珠算的发展及与之相关的著作(如程大位《算法统宗》，1592年)的出现，**传统数学研究不仅没有新的创造，反而倒退了。**传统数学自元末以后落后的原因是多方面的。皇朝更迭的漫长的封建社会，在晚期表现出日趋严重的停滞性与腐朽性，数学发展缺乏社会动力和思想刺激。元代以后，科举考试制度中的《明算科》完全废除，唯以八股取士，数学社会地位低下，研究数学者没有出路，自由探讨受到束缚甚至遭禁锢。同时，**传统数学本身也存在着弱点。筹算系统使用的十进位值记数制是对世界文明的一大贡献，但筹算本身却有很大的局限性。在筹算框架内发展起来的半符号代数“天元术”与“四元术”，就不能突破筹算的限制演进为彻底的符号代数。筹式方程运算不仅笨拙累赘，而且对有五个以上未知量的方程组无能为力。另一方面，算法创造是数学进步的必要因素，但缺乏演绎论证的算法倾向与缺乏算法创造的演绎倾向同样难以升华为现代数学。而无论是筹算数学还是演绎几何，在**的传播都由于“天朝帝国”的妄大、自守而显得困难和缓慢。16、17世纪，当近代数学在欧洲蓬勃兴起以后，**数学就更明显地落后了。从17世纪初到19世纪末大约三百年时间，是**传统数学滞缓发展和西方数学逐渐传入的过渡时期，这期间出现了两次西方数学传播的高潮。第一次是从17世纪初到18世纪初，标志性事件是欧几里得《原本》的首次翻译。1606年，**学者徐光启(1562年—1633年)与意大利传教士利玛窦(matteo ricci)合作完成了欧几里得《原本》前6卷的中文翻译，并于翌年(1607年)正式刊刻出版，定名《几何原本》，中文数学名词“几何”由此而来。西方数学在**早期传播的第二次高潮是从19世纪中叶开始。除了初等数学，这一时期还传入了包括解析几何、微积分、无穷级数论、概率论等近代数学知识。西方数学在**的早期传播对**现代数学的形成起了一定的作用，但由于当时整个社会环境与科学基础的限制，总的来说其功效并不显著。清末数学教育的改革仍以初等数学为主，即使在所谓“大学堂”中，数学教学的内容也没有超出初等微积分的范围，并且多半被转化为传统的语言来讲授。**现代数学的真正开拓，是在辛亥**以后，兴办高等数学教育是重要标志。 20210311