怎样推导能量公式

e=mc^2【详见下面的 9.】相对**式及证明 符号 单位 符号 单位　　坐标(x,y,z)：m 力f(f)： n 　间t(t)： s 质量m(m): kg　　位移r： m 动量p: kg*m/s　　速度v(u)： m/s 能量e: j 　　加速度a： m/s^2 冲量： n*s 　　长度l(l)： m 动能ek： j 　　路程s(s)： m 势能ep： j 　　角速度ω： rad/s 力矩： n*m 　　角加速度: rad/s^2α 功率p： w 牛顿力学（预备知识）　　(一)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt,r=r0+∫rdt 　　(2)a=dv/dt,v=v0+∫adt 　　(注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式) 　　当v不变时，(1)表示匀速直线运动。 　　当a不变时，(2)表示匀变速直线运动。 　　只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。 　　(二)：质点动力学： 　　(1)牛一：一切物体在没有受到力的作用时，总保持静止状态或匀速直线运动状态。 　　(2)牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。 　　f=ma=mdv/dt=dp/dt 　　(3)牛三：作用在同一物体上的两个力，如果等大反向作用在同一直线上，则二力平衡。 　　(4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。 　　f=gmm/r^2,g=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2) 　　动量定理：i=∫fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化) 　　动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。 　　动能定理：w=∫fds=ek2-ek1(合外力的功等于动能的变化) 　　机械能守恒：只有重力做功时，ek1+ep1=ek2+ep2 　　(注：牛顿力学的核心是牛二：f=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。) 狭义相对论力学　　　　（注:“γ”为相对论因子，γ=1/sqr(1-u^2/c^2)，β=u/c，u为惯性系速度。） 　　1．基本原理：（1）相对性原理：所有惯性系都是等价的。 　　（2）光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。 　　（此处先给出公式再给出证明） 　　2．洛仑兹坐标变换： 　　x=γ(x-ut) 　　y=y 　　z=z 　　t=γ(t-ux/c^2) 　　3．速度变换： 　　v(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2) 　　v(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2)) 　　v(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2)) 　　4．尺缩效应：△l=△l/γ或dl=dl/γ 　　5．钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ 　　6．光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b) 　　（光源与探测器在一条直线上运动。） 　　7．动量表达式：p=mv=γmv,即m=γm 　　8．相对论力学基本方程：f=dp/dt 　　9．质能方程：e=mc^2 　　10．能量动量关系：e^2=(e0)^2+p^2c^2　　（注：在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们是等价的。）三维证明　　　　1．由实验总结出的公理，无法证明。 　　2．洛仑兹变换： 　　设(x,y,z,t)所在坐标系（a系）静止，（x,y,z,t）所在坐标系（b系）速度为u，且沿x轴正向。在a系原点处，x=0，b系中a原点的坐标为x=-ut，即x+ut=0。 　　可令 　　x=k(x+ut) (1). 　　又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数（广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。）同理，b系中的原点处有x=k(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=k. 　　故有 　　x=k(x-ut) (2). 　　对于y,z,y,z皆与速度无关，可得 　　y=y (3). 　　z=z (4). 　　将(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kut,即 　　t=kt+((1-k^2)/(ku))x (5). 　　(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理,要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct，x=ct. 　　代入(1)(2)式得：ct=kt(c+u)，ct=kt(c-u).两式相乘消去t和t得： 　　k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.将γ反代入(2)(5)式得坐标变换： 　　x=γ(x-ut) 　　y=y 　　z=z 　　t=γ(t-ux/c^2) 　　3．速度变换： 　　v(x)=dx/dt=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2)) 　　=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2) 　　=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2) 　　同理可得v(y),v(z)的表达式。 　　4．尺缩效应： 　　b系中有一与x轴平行长l的细杆，则由x=γ(x-ut)得：△x=γ(△x-u△t)，又△t=0(要同时测量两端的坐标)，则△x=γ△x，即：△l=γ△l,△l=△l/γ 　　5．钟慢效应： 　　由坐标变换的逆变换可知，t=γ(t+xu/c^2),故△t=γ(△t+△xu/c^2)，又△x=0，(要在同地测量)，故△t=γ△t. 　　（注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。） 　　6．光的多普勒效应：（注：声音的多普勒效应是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).） 　　b系原点处一光源发出光信号，a系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。b系中光源频率为ν(b)，波数为n，b系的钟测得的时间是△t(b)，由钟慢效应可知，a△系中的钟测得的时间为 　　△t(a)=γ△t(b) (1). 　　探测器开始接收时刻为t1+x/c，最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c，则 　　△t(n)=(1+β)△t(a) (2). 　　相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即 　　ν(b)△t(b)=ν(a)△t(n) (3). 　　由以上三式可得： 　　ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b). 　　7．动量表达式：（注：dt=γdτ,此时，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因为对于动力学质点可选自身为参考系，β=v/c） 　　牛顿第二定律在伽利略变换下，保持形势不变，即无论在那个惯性系内，牛顿第二定律都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。 　　牛顿力学中，v=dr/dt，r在坐标变换下形式不变，（旧坐标系中为(x,y,z)新坐标系中为(x,y,z)）只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时dτ莫属）就可以修正速度的概念了。即令v=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。牛顿动量为p=mv，将v替换为v，可修正动量，即p=mv=γmv。定义m=γm（相对论质量）则p=mv.这就是相对论力学的基本量：相对论动量。（注：我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算）　　8．相对论力学基本方程：： 　　由相对论动量表达式可知： f=dp/dt，这是力的定义式，虽与牛顿第二定律的形式完全一样，但内涵不一样。（相对论中质量是变量） 　　9．质能方程： 　　ek=∫fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv 　　=mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2 　　=mv^2+mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2 　　=mc^2-mc^2 　　即e=mc^2=ek+mc^2 　　10．能量动量关系： 　　e=mc^2，p=mv，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)，e0=mc^2，可得：e^2=(e0)^2+p^2c^2四维证明　　　　1．公理，无法证明。 　　2．坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt，即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意惯性系内都成立。定义ds为四维间隔， 　　ds^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2 (1). 　　则对光信号ds恒等于0，而对于任意两时空点的ds一般不为0。ds^2>0称类空间隔，ds^2<0称类时间隔，ds^2=0称类光间隔。相对论原理要求(1)式在坐标变换下形式不变，因此(1)式中存在与坐标变换无关的不变量，ds^2ds^2光速不变原理要求光信号在坐标变换下ds是不变量。因此在两个原理的共同制约下，可得出一个重要的结论：ds是坐标变换下的不变量。 　　由数学的旋转变换公式有：（保持y,z轴不动，旋转x和ict轴） 　　x=xcosφ+(ict)sinφ 　　ict=-xsinφ+(ict)cosφ 　　y=y 　　z=z 　　当x=0时，x=ut,则0=utcosφ+ictsinφ 　　得：tanφ=iu/c,则cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得： 　　x=γ(x-ut) 　　y=y 　　z=z 　　t=γ(t-ux/c^2) 　　3．4．5．6．略。 　　7．动量表达式及四维矢量：（注：γ=1/sqr(1-v^2/c^2)，下式中dt=γdτ） 　　令r=(x,y,z,ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dτ，v=dr/dτ称四维速度。 　　则v=(γv,icγ)γv为三维分量，v为三维速度，icγ为第四维分量。（以下同理） 　　四维动量：p=mv=(γmv,icγm)=(mv,icm) 　　四维力：f=dp/dτ=γdp/dt=(γf,γicdm/dt)（f为三维力） 　　四维加速度：ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c) 　　则f=mdv/dτ=mω 　　8．略。 　　9．质能方程： 　　fv=mωv=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0 　　故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力） 　　由fv=0得：γ^2mfv+γic(dm/dt)(icγm)=0（f,v为三维矢量，且fv=dek/dt(功率表达式)） 　　故dek/dt=c^2dm/dt即∫dek=c^2∫dm，即：ek=mc^2-mc^2 　　故e=mc^2=ek+mc^2 20210311