单片机实现傅立叶变换

萌爺 2024-12-01 11:04:58

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用fpga这种单片机在对fft（快速傅立叶变换）算法进行研究的基础上，描述了用fpga实现fft的方法，并对其中的整体结构、蝶形单元及性能等进行了分析。关键词：fpga fft傅立叶变换是数字信号处理中的基本操作，广泛应用于表述及分析离散时域信号领域。但由于其运算量与变换点数n的平方成正比关系，因此，在n较大时，直接应用dft算法进行谱变换是不切合实际的。然而，快速傅立叶变换技术的出现使情况发生了根本性的变化。本文主要描述了采用fpga来实现2k／4k／8k点fft的设计方法。1 整体结构一般情况下，n点的傅立叶变换对为：其中，wn＝exp(－2 pi／n)。x(k)和x(n)都为复数。与之相对的快速傅立叶变换有很多种,如dit(时域抽取法)、dif（频域抽取法）、cooley－tukey和winograd等。对于2n傅立叶变换，cooley－tukey算法可导出dit和dif算法。本文运用的基本思想是cooley－tukey算法，即将高点数的傅立叶变换通过多重低点数傅立叶变换来实现。虽然dit与dif有差别，但由于它们在本质上都是一种基于标号分解的算法，故在运算量和算法复杂性等方面完全一样，而没有性能上的优劣之分，所以可以根据需要任取其中一种，本文主要以dit方法为对象来讨论。n＝8192点dft的运算表达式为：式中，m＝(4n1＋n2)(2048k1＋k2)(n＝4n1＋n2，k＝2048k1＋k2)其中n1和k2可取0,1,．．．,2047,k1和n2可取0,1,2,3。由式（3）可知，8k傅立叶变换可由4×2k的傅立叶变换构成。同理，4k傅立叶变换可由2×2k的傅立叶变换构成。而2k傅立叶变换可由128×16的傅立叶变换构成。128的傅立叶变换可进一步由16×8的傅立叶变换构成，归根结底，整个傅立叶变换可由基2、基4的傅立叶变换构成。2k的fft可以通过5个基4和1个基2变换来实现；4k的fft变换可通过6个基4变换来实现；8k的fft可以通过6个基4和1个基2变换来实现。也就是说：fft的基本结构可由基2／4模块、复数乘法器、存储单元和存储器控制模块构成，其整体结构如图1所示。图1中，ram用来存储输入数据、运算过程中的中间结果以及运算完成后的数据，rom用来存储旋转因子表。蝶形运算单元即为基2／4模块，控制模块可用于产生控制时序及地址信号，以控制中间运算过程及最后输出结果。2 蝶形运算器的实现基4和基2的信号流如图2所示。图中，若a＝r0＋j＊i0，b＝r1＋j＊i1，c＝r2＋j＊i2，d＝r3＋j＊i3是要进行变换的信号，wk0＝c0＋j＊s0＝1，wk1＝c1＋j＊s1，wk2＝c2＋j＊s2，wk3＝c3＋j＊s3为旋转因子，将其分别代入图2中的基4蝶形运算单元，则有：a′＝[r0＋(r1×c1－i1×s1)＋(r2×c2－i2×s2)＋(r3×c3－i3×s3)]＋j[i0＋(i1×c1＋r1×s1)＋(i2×c2＋r2×s2)＋(i3×c3＋r3×s3)] 20210311

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