关于卢卡斯数列和费波拿契数列恒式

阿钟酱 2024-05-30 10:38:18
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卢卡斯数列  卢卡斯数列 (lucas sequence) 和费波拿契数列 (fibonnacci sequence) 有莫大的关系。  先定义整数 p 和 q 使 d = p2 - 4q > 0,  从而得一方程 x2 - px + q = 0,其根为 a, b,  现定义卢卡斯数列为:  un(p,q) = (an - bn) / (a-b) 及 vn(p,q) = an + bn  其中 n 为非负整数,得 u0(p,q) = 0、 u1(p,q) = 1 、 v0(p,q) = 2 、 v1(p,q) = p、......  我们有下列和卢卡斯数列相关的恒等式:  um+n = umvn - anbnum-n 、 vm+n = vmvn - anbnvm-n   um+1 = p*um - q*um-1 、 vm+1 = p*vm - q*vm-1 (取 n = 1)  u2n = unvn 、 v2n = vn2 - qn  u2n+1 = un+1vn - qn 、 v2n+1 = vn+1vn - pqn  若取 (p,q) = (1,-1),我们便有 un 为费波拿契数,  即 0、 1、 1、 2、 3、 5、 8、 13、 21、 34、 55、 89、 144、 233、 377、 610、 987、 1597、 2584、 4141、 6765等。  而 vn 为卢卡斯数 (lucas number),  即 2、 1、 3、 4、 7、 11、18、 29、 47、 76、 123、 199、 322、 521、 843、 1364、 2207、 3571、 5781、 9349 等。  若取 (p,q) = (2,-1),我们便有 un 为佩尔数 (pell number),  即 0、 1、 2、 5、 12、 29、 70、 169、 408、 985、 2378、 5741等。  而 vn 为佩尔 - 卢卡斯数 (pell - lucas number) (详见另文《佩尔数列》),  即 2、 2、 6、 14、 34、 82、 198、 478、 1154、 2786、 6726等。  此等全都是数学界很有名的数列。  卢卡斯数的性质  卢卡斯数 (简记 ln) 有很多性质和费波拿契数很相似。如 ln = ln-1 + ln-2,其中不同的是 l1 = 1、 l2 = 3。  所以卢卡斯数有:1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ...... (oe** a000204),当中的平方数只有 1 和 4,这是由哥恩 (john h. e. cohn) 证明的。而素数,即卢卡斯素数 (lucas prime) 则有: 3, 7, 11, 29, 47, ...... 。当中现在知道最大的拟素数 (probable prime) 为 l574219 ,此数达 120005位之多。  我们有下列和卢卡斯数相关的恒等式:  ln2 - ln-1ln+1 = 5 (-1)n  l12 + l22 + ...... + ln2 = lnln+1 - 2  lm+n = (5fmfn + lmln) / 2 (式中的 fn 为费波拿契数)  lm-n = (-1)n (lmln - 5fmfn) / 2  ln2 - 5fn2 =4 (-1)n  若我们考虑的是拟素数,即那些通过费马小定理 (fermat's little theorem) 逆命题测试的数,这有很大机会是素数,或可能是卡迈克尔数 (carmichael number)。那我们可把 n 推至 202667。但正因为 n 很大,要判断该数的素性的确不易。 20210311
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