股票估价中的股利固定增长模型数学推导问题

舟山阿雷 2024-06-05 08:41:46

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可以用两种解释来解答你的问题：第一种是结合实际的情况来解释，在解释过程中只针对最后的结论所得的式子p0=d0(1+g)/(r-g)=d1/(r-g)来进行讨论，但理论依据上会有点牵强；第二种是从式子的推导过程来进行相关的论述，结合相关数学理论来解释，最后解释的结果表明g>r时，p0取值应为正无穷且结果推导。第一种解释如下：这个数学推导模型中若出现g>=r的情况在现实中基本不会出现的。要理解这两个数值在式子中成立时必有g<r恒久关系要结合现实进行理解。若股利以一个固定的比率增长g，市场要求的收益率是r，当r大于g且相当接近于g的时候，也就是数学理论上的极值为接近于g的数值，那么上述的式子所计算出来的数值会为正无穷，这样的情况不会在现实出现的，由于r这一个是市场的预期收益率，当g每年能取得这样的股息时，r由于上述的式子的关系导致现实中r不能太接近于g，所以导致市场的预期收益率r大于g时且也不会太接近g才切合实际。根据上述的分析就不难理解g>=r在上述式子中是不成立的，由于g=r是一个式子中有意义与无意义的数学临界点。第二种解释如下：从基本式子进行推导的过程为：p0=d1/(1+r)+d2/(1+r)^2+d3/(1+r)^3+……=d0(1+g)/(1+r)+d0(1+g)^2/(1+r)^2+d0(1+g)^3/(1+r)^3……=[d0(1+g)/(1+r)]*[1+(1+g)/(1+r)+(1+g)^2/(1+r)^2+(1+g)^3/(1+r)^3+……]这一步实际上是提取公因式，应该不难理解，现在你也可以用g>=r时代入这个上述式子共扼部分(1+g)/(1+r)式子你就会发现(1+g)/(1+r)>=1，这样就会导致整个式子计算出来的数值会出现一个正无穷；用g<r时代入这个上述式子共扼部分(1+g)/(1+r)式子你就会发现0<(1+g)/(1+r)<1，这个暂不继续进行讨论，现在继续进行式子的进一步推导。=[d0(1+g)/(1+r)]*[1-(1+g)^n/(1+r)^n]/[1-(1+g)/(1+r)](注：n依题意是正无穷的整数)这一步实际上是上一步的一个数学简化，现在的关键是要注意式子的后半部分。若g=r，则(1+g)/(1+r)=1，导致1-(1+g)/(1+r)这个式子即分母为零，即无意义，从上一步来看，原式的最终值并不是无意义的，故此到这一步为止g=r不适合这式子的使用；若g>r，仍然有(1+g)/(1+r)>1，故此[1-(1+g)^n/(1+r)^n]/[1-(1+g)/(1+r)]>0，把这个结果代入原式中还是正无穷；g<r这个暂不继续进行讨论，现在继续进行式子的进一步推导。=[d0(1+g)/(1+r)]*[1-(1+g)/(1+r)]这一步是十分关键的一步，是这样推导出来的，若g<r，得0<(1+g)/(1+r)<1，得(1+g)^n/(1+r)^n其极值为零，即1-(1+g)^n/(1+r)^n极值为1，即上一步中的分子1-(1+g)^n/(1+r)^n为1；若g>r是无法推导这一步出来的，原因是(1+g)/(1+r)>1，导致(1+g)^n/(1+r)^n仍然是正无穷，即1-(1+g)^n/(1+r)^n极值为负无穷，导致这个式子无法化简到这一步来，此外虽然无法简化到这一步，但上一步中的式子的后半部分，当g>r时，仍然有[1-(1+g)^n/(1+r)^n]/[1-(1+g)/(1+r)]这一个式子为正无穷，注意这个式子中的分子部分为负无穷，分母部分也为负值，导致这个式子仍为正无穷。p0=d0(1+g)/(r-g)=d1/(r-g)(注：从上一步到这里为止只是一个数学上的一个简单简化过程，这里不作讨论)经过上述的分析你就会明白为什么书中会说只要增长率g<r，这一系列现金流现值就是：p0=d0(1+g)/(r-g)=d1/(r-g)。如果增长率g>r时，原式所计算出来的数值并不会为负，只会取值是一个正无穷，且g=r时，原式所计算出来的数值也是一个正无穷。 20210311

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