加权函数定义

Sylvia 2024-05-14 20:04:17

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用微分方程的数值解法对工程结构进行分析计算的方法。主要的数值方法在结构分析中使用的数值方法很多，其中以有限元法使用最广，此外，还有差分法、变分法、加权余量法及边界元法等。这些方法都是将求解微分方程的问题化为求解代数方程的问题，进而求出未知函数（结构的位移、内力、应力等）的数值解。有限元法又称有限单元法，是结构分析中适应性最强、应用最广泛的数值方法。对于杆件结构的有限元法也就是结构矩阵分析法。在有限元法中，通过剖分所计算的区域，把一个连续体近似地用有限个在结点处相连接的单元所组成的离散结构来代替，并通过未知函数在各个单元上的分片插值，把连续体的分析化为单元的分析以及由单元集合成离散结构的分析。有限元法具有便于处理复杂边界条件，便于分析复杂结构以及便于编制通用计算程序等优点。差分法结构分析中发展较早，应用较广的数值方法，特别适用于形状比较规则的结构。在用差分法求数值解时,亦须对计算区域作网格剖分,进而将在结构分析的支配微分方程中出现的导数或偏导数用差商代替，得到对应于原微分方程的差分方程。求解差分方程组，便得到未知函数在网格结点处的近似值。变分法用变分法进行结构分析时，首先根据变分原理(如最小势能原理、最小余能原理)将求解结构分析中的支配微分方程的问题用等价的求解某种泛函极值的问题来代替，进而设定包含待定系数的满足规定条件的试探解,将泛函的极值问题化为多元函数的极值问题,从而由极值条件获得用以确定待定系数的代数方程组。解出待定系数后，便得到未知函数的近似解。由于试探解是对整个计算区域选取的,因而当边界条件较复杂时,要使它预先满足规定条件较为困难。加权余量法又称加权残数法。将包含待定系数的试探解代入结构分析的支配微分方程和边界条件，一般不能满足而会出现余量,选择某种权函数与余量相乘,列出在加权平均的意义上使余量为零的方程式，就把求解微分方程的问题化为求解代数方程的问题。其中未知量就是试探解中的待定系数。按照权函数的不同，加权余量法可分为子域法、矩量法、配点法、最小二乘法以及伽辽金法等。边界元法首先将求解结构分析的支配微分方程的边值问题转化为求解边界积分方程的问题，然后将计算区域的边界离散化，再通过边界上的未知函数在各个边界单元上的分片插值，进一步转化为求解代数方程组的问题。边界元法的主要优点是：将问题的维数降低了一次，因而计算前处理工作量大为减少；能直接计算出工程上感兴趣的边界应力；特别便于解决与无限域或半无限域有关的问题。结构分析应用软件 20世纪50年代以来，由于电子计算机的发展使得结构分析数值方法的应用有了迅速发展，作为这种发展的一个重要标志，已研制成功一大批结构分析数值方法的应用软件，在各个工程领域中发挥了极大的作用。结构分析数值方法的应用软件按其适用程度可分为专用结构分析程序系统以及通用结构分析程序系统两类。专用程序具有针对性强、使用方便、效率高等优点，对于一些需要大量重复计算的问题可以显著缩短计算时间，降低计算费用。通用程序具有通用性强、功能较全面,灵活性、可靠性好，便于修改补充等优点，适用于大型复杂结构的各种力学分析计算工作。结构分析程序系统往往还具有较完善的前、后处理功能，便于用户准备原始数据并获得形象的计算成果。结构分析程序系统一般采用模块式结构，每个模块实现某种功能并以一定的输入、输出内容与其他模块相连接。这些模块按它们的作用大致可分为数据输入及数据自动生成模块、各种功能模块（例如形成线性代数方程组的系数矩阵与右端列阵、解线性代数方程组、解特征值与特征向量等）、成果整理及输出、绘图模块。鉴于模块的特性，程序编制人员在研制一个新的结构分析程序时，往往可以选用一些已有的模块，仅需新编制一部分新的模块，这就大大节省了编制程序的工作量。应用数值方法、结构试验方法与求解析解是结构分析的三种主要方法。由于数值方法适应性强、应用方便、省钱省时，而成果又有足够的精度，故在各种工程的结构分析中已得到广泛应用。在水利工程中，由于水工结构的复杂性与重要性，结构分析数值方法得到了较多的应用与较快的发展。其中比较典型的课题有：大型复杂空间结构（如拱坝）的静、动力分析；复杂地基与上部结构联合作用的结构非线性分析；大体积混凝土的温度场与蠕变温度应力分析；地下结构与围岩联合作用的弹塑性分析；坝体形状优化分析等。发展方向结构分析数值方法的发展主要有三个方向：①研究与改进适用于各种工程结构分析的数值方法以及它们的误差、收敛性等理论问题；②研究各种数值方法的结合以及数值方法与结构试验方法或解析解的结合，以期耗费最少的金钱与时间获得最能反映实际情况的高精度的成果；③根据需要研制或改进结构分析应用软件，特别是着重发展适用于小型计算机、微型计算机的高度模块化的结构分析程序系统。此外，为了使数值计算能更好地符合实际情况，有效、准确地测定反映结构静、动力性态的各种计算参数已成为急待发展的课题。 20210311

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