泰勒公式求极限。。

南非甄钻 2024-05-17 00:19:18
最佳回答
解:∵(1+x)^α=1+αx+α(α-1)(x²/2)+o(x²) (泰勒公式,o(x)阶无穷小) ∴(x³+3x²)^(1/3)=x(1+3/x)^(1/3) =x[1+(1/3)(3/x)+(1/3)(1/3-1)((3/x)²/2)+o(1/x²)] (应用上式泰勒公式展开) =x[1+1/x-1/x²+o(1/x²)] =x+1-1/x+o(1/x) (x^4-2x³)^(1/4)=x(1-2/x)^(1/4) =x[1+(1/4)(-2/x)+(1/4)(1/4-1)((-2/x)²/2)+o(1/x²)] (应用上式泰勒公式展开) =x[1-1/(2x)-3/(8x²)+o(1/x²)] =x-1/2-3/(8x)+o(1/x) 故 原式=lim(x->∞)[(x+1-1/x+o(1/x))-(x-1/2-3/(8x)+o(1/x))] =lim(x->∞)[3/2-5/(8x)+o(1/x)] =3/2-0+0 (lim(x->∞)[o(1/x)]=0) =3/2。 20210311
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