高等数学的函数与极限

高考数学基础知识汇总第一部分 集合（1）含n个元素的集合的子集数为2^n,真子集数为2^n－1；非空真子集的数为2^n-2；（2） 注意：讨论的时候不要遗忘了 的情况。（3） 第二部分 函数与导数1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 ； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（ 、 、 等）；⑨导数法3．复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为〔a，b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数 分解为基本函数：内函数 与外函数 ；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。注意：外函数 的定义域是内函数 的值域。4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5．函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；⑵ 是奇函数 ；⑶ 是偶函数 ；⑷奇函数 在原点有定义，则 ；⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；（6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；6．函数的单调性⑴单调性的定义：① 在区间 上是增函数 当 时有 ；② 在区间 上是减函数 当 时有 ；⑵单调性的判定1 定义法：注意：一般要将式子 化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法（见2 （2））；④图像法。注：证明单调性主要用定义法和导数法。7．函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意 ，若有 （其中 为非零常数），则称函数 为周期函数， 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函数的周期① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑶函数周期的判定①定义法（试值） ②图像法 ③公式法（利用（2）中结论）⑷与周期有关的结论① 或 的周期为 ；② 的图象关于点 中心对称 周期为2 ；③ 的图象关于直线 轴对称 周期为2 ；④ 的图象关于点 中心对称，直线 轴对称 周期为4 ；8．基本初等函数的图像与性质⑴幂函数： （ ；⑵指数函数： ；⑶对数函数: ；⑷正弦函数: ；⑸余弦函数： ；（6）正切函数： ；⑺一元二次函数： ；⑻其它常用函数：1 正比例函数： ；②反比例函数： ；特别的 2 函数 ；9．二次函数：⑴解析式：①一般式： ；②顶点式： ， 为顶点；③零点式： 。⑵二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。10．函数图象： ⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法⑵图象变换：1 平移变换：ⅰ ，2 ———“正左负右” ⅱ ———“正上负下”；3 伸缩变换：ⅰ ， （ ———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 倍；ⅱ ， （ ———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 倍；4 对称变换：ⅰ ；ⅱ ；ⅲ ； ⅳ ；5 翻转变换：ⅰ ———右不动，右向左翻（ 在 左侧图象去掉）；ⅱ ———上不动，下向上翻（| |在 下面无图象）；11．函数图象（曲线）对称性的证明(1)证明函数 图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明函数 与 图象的对称性，即证明 图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在 的图象上，反之亦然；注：①曲线c1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线c2方程为：f(2a－x,2b－y)=0;②曲线c1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线c2方程为：f(2a－x, y)=0;③曲线c1：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=－x+a)的对称曲线c2的方程为f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);④f(a+x)=f(b－x) （x∈r） y=f(x)图像关于直线x= 对称；特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈r） y=f(x)图像关于直线x=a对称；⑤函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x= 对称；12．函数零点的求法：⑴直接法（求 的根）；⑵图象法；⑶二分法.13．导数 ⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作 ；⑵常见函数的导数公式: ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ 。⑶导数的四则运算法则： ⑷（理科）复合函数的导数： ⑸导数的应用： ①利用导数求切线：注意：ⅰ所给点是切点吗？ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线？②利用导数判断函数单调性：ⅰ 是增函数；ⅱ 为减函数；ⅲ 为常数； ③利用导数求极值：ⅰ求导数 ；ⅱ求方程 的根；ⅲ列表得极值。④利用导数最大值与最小值：ⅰ求的极值；ⅱ求区间端点值（如果有）；ⅲ得最值。14．（理科）定积分 ⑴定积分的定义： ⑵定积分的性质：① （ 常数）；② ；③ （其中 。⑶微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）： ⑷定积分的应用：①求曲边梯形的面积： ； 3 求变速直线运动的路程： ；③求变力做功： 。第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形1．⑴角度制与弧度制的互化： 弧度 ， 弧度， 弧度 ⑵弧长公式： ；扇形面积公式： 。2．三角函数定义：角 中边上任意一点 为 ，设 则： 3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；4．诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限”；5．⑴ 对称轴： ；对称中心： ； ⑵ 对称轴： ；对称中心： ； 6．同角三角函数的基本关系： ；7．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：① ② ③ 。8．二倍角公式：① ；② ；③ 。9．正、余弦定理：⑴正弦定理： （ 是 外接圆直径 ）注：① ；② ；③ 。⑵余弦定理： 等三个；注： 等三个。10。几个公式:⑴三角形面积公式： ；⑵内切圆半径r= ；外接圆直径2r= 11．已知 时三角形解的个数的判定： 第四部分 立体几何1．三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为 。2．表（侧）面积与体积公式：⑴柱体：①表面积：s=s侧+2s底；②侧面积：s侧= ；③体积：v=s底h ⑵锥体：①表面积：s=s侧+s底；②侧面积：s侧= ；③体积：v= s底h：⑶台体：①表面积：s=s侧+s上底s下底；②侧面积：s侧= ；③体积：v= （s+ ）h；⑷球体：①表面积：s= ；②体积：v= 。3．位置关系的证明（主要方法）：⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行 线面平行。⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。注：理科还可用向量法。4.求角：（步骤-------ⅰ。找或作角；ⅱ。求角）⑴异面直线所成角的求法：1 平移法：平移直线，2 构造三角形；3 ②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，4 发现两条异面直线间的关系。注：理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角。⑵直线与平面所成的角：①直接法（利用线面角定义）；②先求斜线上的点到平面距离h，与斜线段长度作比，得sin 。注：理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。⑶二面角的求法：①定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解；②三垂线法：由一个半面内一点作（或找）到另一个半平面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解；③射影法：利用面积射影公式： ,其中 为平面角的大小； 注：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法；理科还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角。5.求距离：（步骤-------ⅰ。找或作垂线段；ⅱ。求距离）⑴两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算；⑵点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解；⑶点到平面的距离：①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键），再求解；5 等体积法；理科还可用向量法： 。⑷球面距离：（步骤）（ⅰ）求线段ab的长；（ⅱ）求球心角∠aob的弧度数；(ⅲ)求劣弧ab的长。6．结论：⑴从一点o出发的三条射线oa、ob、oc，若∠aob=∠aoc，则点a在平面∠boc上的射影在∠boc的平分线上；⑵立平斜公式(最小角定理公式)： ⑶正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为 ，则s侧cos =s底；⑷长方体的性质①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 则：cos2 +cos2 +cos2 =1；sin2 +sin2 +sin2 =2 。②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为 则有cos2 +cos2 +cos2 =2；sin2 +sin2 +sin2 =1 。⑸正四面体的性质：设棱长为 ，则正四面体的：1 高： ；②对棱间距离： ；③相邻两面所成角余弦值： ；④内切2 球半径： ；外接球半径： ；第五部分 直线与圆1．直线方程⑴点斜式： ；⑵斜截式： ；⑶截距式： ；⑷两点式： ；⑸一般式： ，（a，b不全为0）。（直线的方向向量：（ ，法向量（ 2．求解线性规划问题的步骤是：（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。3．两条直线的位置关系：4．直线系5．几个公式⑴设a（x1,y1）、b(x2,y2)、c（x3,y3），⊿abc的重心g：（ ）；⑵点p（x0,y0）到直线ax+by+c=0的距离： ；⑶两条平行线ax+by+c1=0与 ax+by+c2=0的距离是 ；6．圆的方程：⑴标准方程：① ；② 。⑵一般方程： （ 注：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0表示圆 a=c≠0且b=0且d2+e2－4af>0；7．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。8．圆系：⑴ ； 注：当 时表示两圆交线。⑵ 。9．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）⑴点与圆的位置关系：（ 表示点到圆心的距离）① 点在圆上；② 点在圆内；③ 点在圆外。⑵直线与圆的位置关系：（ 表示圆心到直线的距离）① 相切；② 相交；③ 相离。⑶圆与圆的位置关系：（ 表示圆心距， 表示两圆半径，且 ）① 相离；② 外切；③ 相交；④ 内切；⑤ 内含。10．与圆有关的结论：⑴过圆x2+y2=r2上的点m(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2；过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点m(x0,y0)的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；⑵以a(x1，y2)、b(x2,y2)为直径的圆的方程：(x－x1)(x－x2)+(y－y1)(y－y2)=0。第六部分 圆锥曲线1．定义：⑴椭圆： ；⑵双曲线： ；⑶抛物线：略2．结论 ⑴焦半径：①椭圆： （e为离心率）； （左“+”右“-”）；②抛物线： ⑵弦长公式： ；注：（ⅰ）焦点弦长：①椭圆： ；②抛物线： ＝x1+x2+p= ；（ⅱ）通径（最短弦）：①椭圆、双曲线： ；②抛物线：2p。⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： （ 同时大于0时表示椭圆， 时表示双曲线）；⑷椭圆中的结论：①内接矩形最大面积 ：2ab；②p，q为椭圆上任意两点，且op 0q，则 ；③椭圆焦点三角形：<ⅰ>． ，（ ）；<ⅱ>．点 是 内心， 交 于点 ，则 ；④当点 与椭圆短轴顶点重合时 最大； ⑸双曲线中的结论：①双曲线 （a>0,b>0）的渐近线： ； ②共渐进线 的双曲线标准方程为 为参数， ≠0）；③双曲线焦点三角形：<ⅰ>． ，（ ）；<ⅱ>．p是双曲线 － =1(a＞0，b＞0)的左（右）支上一点，f1、f2分别为左、右焦点，则△pf1f2的内切圆的圆心横坐标为 ；④双曲线为等轴双曲线 渐近线为 渐近线互相垂直；（6）抛物线中的结论：①抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦ab性质：<ⅰ>． x1x2= ；y1y2=－p2；<ⅱ>． ；<ⅲ>．以ab为直径的圆与准线相切；<ⅳ>．以af（或bf）为直径的圆与 轴相切；<ⅴ>． 。 ②抛物线y2=2px(p>0)内结直角三角形oab的性质：<ⅰ>． ； <ⅱ>． 恒过定点 ；<ⅲ>． 中点轨迹方程： ；<ⅳ>． ，则 轨迹方程为： ；<ⅴ>． 。③抛物线y2=2px(p>0)，对称轴上一定点 ，则：<ⅰ>．当 时，顶点到点a距离最小，最小值为 ；<ⅱ>．当 时，抛物线上有关于 轴对称的两点到点a距离最小，最小值为 。3．直线与圆锥曲线问题解法：⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。注意以下问题：①联立的关于“ ”还是关于“ ”的一元二次方程？②直线斜率不存在时考虑了吗？③判别式验证了吗？⑵设而不求（代点相减法）：--------处理弦中点问题步骤如下：①设点a(x1，y1)、b(x2,y2)；②作差得 ；③解决问题。4．求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法）；⑷待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。第七部分 平面向量⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则： ① a‖b(b≠0) a= b （ x1y2－x2y1=0；② a⊥b(a、b≠0) a•b=0 x1x2+y1y2=0 .⑵a•b=|a||b|cos<a,b>=x2+y1y2； 注：①|a|cos<a,b>叫做a在b方向上的投影；|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的投影；6 a•b的几何意义：a•b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos<a,b>的乘积。⑶cos<a,b>= ；⑷三点共线的充要条件：p，a，b三点共线 ；附：（理科）p，a，b，c四点共面 。 第八部分 数列1．定义：⑴等差数列 ；⑵等比数列 ；2．等差、等比数列性质 等差数列 等比数列通项公式 前n项和 性质 ①an=am+ (n－m)d, ①an=amqn-m; ②m+n=p+q时am+an=ap+aq ②m+n=p+q时aman=apaq ③ 成ap ③ 成gp ④ 成ap, ④ 成gp, 等差数列特有性质：1 项数为2n时：s2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n)； ； ；2 项数为2n-1时：s2n-1=(2n-1) ； ； ；3 若 ；若 ；若 。3．数列通项的求法：⑴分析法；⑵定义法（利用ap,gp的定义）；⑶公式法：累加法（ ；⑷叠乘法（ 型）；⑸构造法（ 型）；（6）迭代法；⑺间接法（例如： ）；⑻作商法（ 型）；⑼待定系数法；⑽（理科）数学归纳法。注：当遇到 时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式。4．前 项和的求法：⑴拆、并、裂项法；⑵倒序相加法；⑶错位相减法。5．等差数列前n项和最值的求法：⑴ ；⑵利用二次函数的图象与性质。 第九部分 不等式1．均值不等式： 注意：①一正二定三相等；②变形， 。2．绝对值不等式： 3．不等式的性质：⑴ ；⑵ ；⑶ ； ；⑷ ； ； ；⑸ ；（6） 。4．不等式等证明（主要）方法：⑴比较法：作差或作比；⑵综合法；⑶分析法。 第十部分 复数1．概念：⑴z=a+bi∈r b=0 (a,b∈r) z= z2≥0；⑵z=a+bi是虚数 b≠0(a,b∈r)；⑶z=a+bi是纯虚数 a=0且b≠0(a,b∈r) z＋ ＝0（z≠0） z2<0；⑷a+bi=c+di a=c且c=d(a,b,c,d∈r)；2．复数的代数形式及其运算：设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈r)，则：（1） z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i；⑵ z1.z2 = (a+bi)•(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；⑶z1÷z2 = (z2≠0) ;3．几个重要的结论： ；⑶ ；⑷ ⑸ 性质：t=4； ； （6） 以3为周期，且 ； =0；（7） 。4．运算律：（1） 5．共轭的性质：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ 。6．模的性质：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；第十一部分 概率1．事件的关系：⑴事件b包含事件a：事件a发生，事件b一定发生，记作 ；⑵事件a与事件b相等：若 ，则事件a与b相等，记作a=b；⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件a发生或b发生，记作 （或 ）；⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件a发生且b发生，记作 （或 ） ；⑸事件a与事件b互斥：若 为不可能事件（ ），则事件a与互斥；（6）对立事件： 为不可能事件， 为必然事件，则a与b互为对立事件。2．概率公式：⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：p(a+b)=p(a)+p(b)；⑵古典概型： ；⑶几何概型： ；第十二部分 统计与统计案例1．抽样方法⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为n，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。注：①每个个体被抽到的概率为 ；②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号 ；④按预先制定的规则抽取样本。⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数 2．总体特征数的估计：⑴样本平均数 ；⑵样本方差 ；⑶样本标准差 = ；3．相关系数（判定两个变量线性相关性）： 注：⑴ >0时，变量 正相关； <0时，变量 负相关；⑵① 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；② 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。4．回归分析中回归效果的判定：⑴总偏差平方和： ⑵残差： ；⑶残差平方和： ；⑷回归平方和： － ；⑸相关指数 。注：① 得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；② 越接近于1，，则回归效果越好。5．独立性检验（分类变量关系）：随机变量 越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。 第十四部分 常用逻辑用语与推理证明1． 四种命题：⑴原命题：若p则q； ⑵逆命题：若q则p；⑶否命题：若 p则 q；⑷逆否命题：若 q则 p注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。2．充要条件的判断：（1）定义法----正、反方向推理；（2）利用集合间的包含关系：例如：若 ，则a是b的充分条件或b是a的必要条件；若a=b，则a是b的充要条件；3．逻辑连接词：⑴且(and) ：命题形式 p q； p q p q p q p⑵或（or）：命题形式 p q； 真 真 真 真 假⑶非（not）：命题形式 p . 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真4．全称量词与存在量词⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用 表示； 全称命题p： ； 全称命题p的否定 p： 。⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用 表示； 特称命题p： ； 特称命题p的否定 p： ；第十五部分 推理与证明1．推理：⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。注：类比推理是特殊到特殊的推理。⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。注：演绎推理是由一般到特殊的推理。“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；⑶结 论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。二．证明⒈直接证明⑴综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。⑵分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。2．间接证明------反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。附：数学归纳法（仅限理科）一般的证明一个与正整数 有关的一个命题，可按以下步骤进行：⑴证明当 取第一个值 是命题成立；⑵假设当 命题成立，证明当 时命题也成立。那么由⑴⑵就可以判定命题对从 开始所有的正整数都成立。这种证明方法叫数学归纳法。注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行；3 的取值视题目而4 定，5 可能是1，6 也可能是2等。第十六部分 理科选修部分1． 排列、组合和二项式定理⑴排列数公式: =n(n-1)(n-2)…(n-m＋1)= (m≤n,m、n∈n*),当m=n时为全排列 =n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!;⑵组合数公式： （m≤n）, ；⑶组合数性质： ；⑷二项式定理： ①通项： ②注意二项式系数与系数的区别；⑸二项式系数的性质：①与首末两端等距离的二项式系数相等；②若n为偶数，中间一项（第 ＋1项）二项式系数最大；若n为奇数，中间两项（第 和 ＋1项）二项式系数最大；③ (6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法。2. 概率与统计⑴随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：pi≥0,i=1,2,…； p1+p2+…=1;②离散型随机变量：x x1 x2 … xn …p p1 p2 … pn …期望：ex＝ x1p1 + x2p2 + … + xnpn + … ; 方差：dx＝ ;注： ；③两点分布： x 0 1 期望：ex＝p；方差：dx＝p(1-p). p 1－p p 4 超几何分布：一般地，在含有m件次品的n件产品中，任取n件，其中恰有x件次品，则 其中， 。称分布列 x 0 1 … m p … 为超几何分布列， 称x服从超几何分布。⑤二项分布（独立重复试验）：若x～b（n,p）,则ex＝np, dx＝np（1- p）;注： 。⑵条件概率：称 为在事件a发生的条件下，事件b发生的概率。注：①0 p（b|a） 1；②p(b∪c|a)=p(b|a)+p(c|a)。⑶独立事件同时发生的概率：p（ab）=p（a）p（b）。⑷正态总体的概率密度函数： 式中 是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差；（6）正态曲线的性质：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x＝ 对称；③曲线在x＝ 处达到峰值 ；④曲线与x轴之间的面积为1；5 当 一定时，6 曲线随 质的变化沿x轴平移；7 当 一定时，8 曲线形状由 确定： 越大，9 曲线越“矮胖”，10 表示总体分布越集中； 越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。注：p =0.6826；p =0.9544p =0.9974 20210311