对数的计算和公式

?音尓? 2024-11-16 18:54:13

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定义：若a^n=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b) 基本性质： 1、a^(log(a)(b))=b 2、log(a)(mn)=log(a)(m)+log(a)(n); 3、log(a)(m÷n)=log(a)(m)-log(a)(n); 4、log(a)(m^n)=nlog(a)(m) 推导 1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。 2、mn=m×n 由基本性质1(换掉m和n) a^[log(a)(mn)] = a^[log(a)(m)]×a^[log(a)(n)] 由指数的性质 a^[log(a)(mn)] = a^{[log(a)(m)] + [log(a)(n)]} 又因为指数函数是，所以 log(a)(mn) = log(a)(m) + log(a)(n) 3、与（2）类似处理 mn=m÷n 由基本性质1(换掉m和n) a^[log(a)(m÷n)] = a^[log(a)(m)]÷a^[log(a)(n)] 由指数的性质 a^[log(a)(m÷n)] = a^{[log(a)(m)] - [log(a)(n)]} 又因为指数函数是，所以 log(a)(m÷n) = log(a)(m) - log(a)(n) 4、与（2）类似处理 m^n=m^n 由基本性质1(换掉m) a^[log(a)(m^n)] = {a^[log(a)(m)]}^n 由指数的性质 a^[log(a)(m^n)] = a^{[log(a)(m)]*n} 又因为指数函数是，所以 log(a)(m^n)=nlog(a)(m)基本性质4推广log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]推导如下：由（见下面）[lnx是log(e)(x)e称作自然对数的底] log(a^n)(b^m)=ln(a^n)÷ln(b^n)由基本性质4可得log(a^n)(b^m) = [n×ln(a)]÷[m×ln(b)] = (m÷n)×{[ln(a)]÷[ln(b)]}再由log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] --------------------------------------------（性质及推导完）[编辑本段]1.的图象都过(1,0)点.2.对于y=log(a)(n)函数, ①,当0<a<1时,图象上函数显示为(0,+∞)单减.随着a 的增大,图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动,但不超过x=1.②当a>1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的增大,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过x=1.3.与其他函数与反函数之间图象关系相同,和指数函数的图象关于直线y=x对称.性质一：换底公式log(a)(n)=log(b)(n)÷log(b)(a)推导如下：n = a^[log(a)(n)]a = b^[log(b)(a)]综合两式可得n = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(n)] = b^{[log(a)(n)]*[log(b)(a)]}又因为n=b^[log(b)(n)]所以 b^[log(b)(n)] = b^{[log(a)(n)]*[log(b)(a)]}所以 log(b)(n) = [log(a)(n)]*[log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的}所以log(a)(n)=log(b)(n) / log(b)(a)公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)证明如下：由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)×log(b)(a)=1 20210311

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