干支纪年中的数学（上）

MR•Right 2024-06-30 06:13:14

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1我们从一个mba考题谈起。2 从题干的描述中，我们对古代干支纪年有了初步了解，先抛开选项不谈，你能发现干支纪年中“隐藏”着哪些数学问题吗？首先最基本的问题当然是，按当今国际通用的纪年，比如今年是公元2018年，对应的干支纪年是什么？也就是二者之间相互转化的问题。另外，我们还可以思考，干支纪年的周期（题目中已经说明周期为60年）如何计算？还有，是不是任意一个“天干”和“地支”搭配在一起都是一个合理的年份（正如题目中的b选项）？本文利用数学知识探讨这些问题，我们从最容易回答的问题开始，即如何计算干支纪年的周期？3 为了方便用数学方法讨论问题，我们先分别为“十干”和“十二支”编号，如下表：（继续读下去自会明白为什么从0开始编号。）4 从题干中我们了解到，在干支纪年中，某一年之后的下一年，“天干”和“地支”同时依表格中的顺序向后“移动一格”，若已位于最后一格时，则移动后返回“第一格”。由于“天干”和“地支”的数量不等，导致干支纪年的周期显然既不是10也不是12，那周期应该是多少呢，这就是我们求助数学的时候了。5 想象有两种不同尺寸的长条状积木，长度分别为10cm和12cm，现在分别取尺寸不同的积木各一块，把它们并排放置，并使它们的左端对齐，然后在每一行首尾相接地放置相同尺寸的积木若干块，问二者各最少放置多少块后，它们的右端对齐？解决这个问题最直接的方法就是画图，如下图，可以看出当第一行放置6块10cm的积木，第二行放置5块12cm的积木时，它们的右端首次对齐，这时每一行的总长度都是60cm。6 你看出这就是干支纪年周期问题的“积木版本”了吗？由此我们也“证明”了干支纪年的周期为60年。但我们还想知道，干支纪年的“总周期60”是怎样依赖于10和12这两个“分周期”的呢？这个问题你只要再仔细观察上图，并回忆起小学数学“约数与倍数”的知识，就能发现60其实就是10和12的最小公倍数！7 下面我们来分析第二个问题，即题目b选项所述：甲丑年存在吗？首先我们看到，10天干对12地支，如果任意天干和地支都可以搭配，则根据排列组合的知识，这样的搭配共有种（因为每一个天干都有12种选择，利用乘法原理即可）。如果这任意的搭配都是合理的，则存在120个不同的年份，而我们刚才已证明干支纪年的周期为60年，所以这显然是不可能的。我们由此得出结论，干支纪年中的“天干”和“地支”是不能随意搭配的。下表给出了全部60个“合理”的组合： 8 我们从表格中“数值化”的干支纪年来考虑，显然每过一年，天干和地支的数值各加1（先不考虑循环）。对于这类涉及整数的问题，我们常用的技巧之一是“调查奇偶性”，天干与地支数值同时加1，这意味着每过一年，天干和地支数值的奇偶性都必定同时改变（奇变偶，偶变奇）。我们发现当发生循环时，此规律仍然成立，例如地支由亥变到子，数值由11变为0，奇偶性仍然改变（0是偶数！）。再观察到“初始年份”是甲子年，这时的天干和地支数值都是偶数，那么下一年就一定都是奇数，以此类推，我们得到一个新结论：任何年份的天干和地支的数值都具有相同的奇偶性！9 前面我们分析得出了天干和地支的任意搭配有120种，这120种里显然天干和地支的数值奇偶性不一定相同，而且准确的说，是恰好有一半相同一半不同，而我们现在又知道了，合理的干支纪年要求奇偶性相同，故“实际存在”的年份应该是120的一半，正好是60，即干支纪年的周期！现在题目b选项的错误就是显然的了，“甲丑年”对应的天干地支数值分别为0和1，奇偶性不同，所以不存在甲丑年。end 20210311

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