在一个半径为r的球中内接一个正圆柱体,使其体积为最大求此圆柱体的高

卡西莫多 2024-12-01 02:58:47
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假设圆柱体半径的r,高度为h过圆柱体下下圆中心作球径,交上面一点为a,一点为b,圆柱体上底面圆心为d下底面圆心为e过下底面圆上一点c,连接ac,bc,ce则ad=be,2r=2ad+had=be,=r-h/2ae=r+h/2bc^2=ce^2+eb^2=(r-h/2)^2+r^2ac^2=ae^2+ec^2=(r+h/2)^2+r^2ab^2=ac^2+bc^24r^2=(r-h/2)^2+r^2+(r+h/2)^2+r^2化简得:r^2=r^2-1/4*h^2v圆柱体=pi*r^2*h=pi*(r^2-1/4*h^2)*h,0<h<2r当h=r*2(根号3)/3时(证明略),有最值此时v=2(根号3)/9*pi*r^3 20210311
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