二阶微分方程特解中,如果λ是复数,怎么确定特解公式的k是多少

爱吃肉的长劲鹿吖~? 2024-05-28 10:29:59
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例 y''-2y'+5y = e^xsin2x特征方程 r^2-2r+5 = 0, r = 1±2i非齐次项中,1±2i 与特征根 1±2i 相同,应取 k = 1,即特解应设为 y = xe^x(acos2x+bsin2x), 则y' = e^x(acos2x+bsin2x) + xe^x(acos2x+bsin2x) + xe^x(-2asinx+2bcos2x)= e^x[(ax+2bx+a)cos2x+(bx-2ax+b)sin2x]y'' = e^x[(ax+2bx+a)cos2x+(bx-2ax+b)sin2x]+e^x[(a+2b)cos2x-2(ax+2bx+a)sin2x+(b-2a)sin2x+2(bx-2ax+b)cos2x]= e^x[(-3ax+4bx+2a+4b)cos2x+(-3bx-4ax+2b-4a)sin2x]代入微分方程得(-3ax+4bx+2a+4b)cos2x+(-3bx-4ax+2b-4a)sin2x-2(ax+2bx+a)cos2x - 2(bx-2ax+b)sin2x+5axcos2x+5bxsin2x = sin2x, 解得 a = -1/4, b = 0特解是 y = -(1/4)xe^xcos2x 20210311
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