三次方求和公式 是如何推导的

大众点评结婚指南 2024-11-29 08:43:53
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是求1³+2³+...+n³?至少有三种方法.1. 由(n+1)^4-n^4 = 4n³+6n²+4n+1.n^4-(n-1)^4 = 4(n-1)³+6(n-1)²+4(n-1)+1(n-1)^4-(n-2)^4 = 4(n-2)³+6(n-2)²+4(n-2)+1...2^4-1 = 4·1³+6·1²+4·1+1求和得(n+1)^4-1 = 4s_3+6s_2+4s_1+n.只要代入二次方和s_2与一次方和s_1的公式, 就能求出三次方和s_3的公式.2. 首先有几个恒等式:1+2+...+n = n(n+1)/2. (可以裂项2k = k(k+1)-(k-1)k证明).1×2+2×3+...+n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3. (可以裂项3k(k+1) = k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)证明).1×2×3+2×3×4+...+n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)/4. (类似裂项证明).n³ = n(n+1)(n+2)-3n(n+1)+n, 求和即得.3. 图形法. 考虑以1+2+...+n为边长的正方形.从左上角开始, 将图形分割如下.1 2 2 3 3 3 4 4 4 42 2 2 3 3 3 4 4 4 42 2 2 3 3 3 4 4 4 43 3 3 3 3 3 4 4 4 43 3 3 3 3 3 4 4 4 43 3 3 3 3 3 4 4 4 44 4 4 4 4 4 4 4 4 44 4 4 4 4 4 4 4 4 44 4 4 4 4 4 4 4 4 44 4 4 4 4 4 4 4 4 41个边长1正方形, 1+(1/2)·2个边长2正方形, 3个边长3正方形, 3+(1/2)·2个边长4正方形, ...1³+2³+...+n³ = (1+2+...+n)² = n²(n+1)²/4.除此之外还有待定系数加数学归纳法, 还有母函数方法等. 20210311
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