万有引力的公式

聪聪聪不想不念 2024-06-17 17:39:02

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牛顿的重力计算公式(f=gmm/r2)本身非常简单，但它的推导过程却很少有人知道。由于这个公式的来源很不明确，所以几乎见不到介绍简单推导过程的文献。因此有人认为这个公式并不是牛顿推导出来的，而是他凭经验猜出来的。也因此而遗留下很多问题。例如：怎样才能简单推导这个公式?为什么在这个公式中会用到平方反比定律?公式中常数g的物理意义是什么?等等。　　先决条件：重力必定产生在两个物体之间。这两个物体可以是有质量的任意物体，与它们自身的物理特性无关。　　第一步：设有两个质心间距离为r的物体，质量分别是m1和m2。定义这两个物体各自的质量场密度分别为d1=m1/4πr2。d2=m2/4πr2。　　第二步：用g1表示m2相对m1自由落体运动的重力加速度，用g2表示m1相对m2的重力加速度。那么，根据牛顿第二运动定律，这两个物体之间重力大小的数值为：f=m2g1=m1g2。因为从第一步中可以知道：m1=4πr2d1，m2=4πr2d2，所以，可以得到：4πr2·d2·g1=4πr2·d1·g2，化简得d2·g1=d1·g2。从这个结果可以得到的结论是：g1/d1=g2/d2=g/d=gm。这个比值是一个常数，用gm来表示。自由落体公式003.jpg　　第三步：从以上第二步(gm=g/d)中得重力加速度的计算公式为：g=gmd。根据牛顿第二运动定律f=ma得，重力计算公式为：f=mg=mgmd。f=mgmd是一个与牛顿公式不同的重力计算公式，这个公式可以直接被用来计算重力。例如，计算地球表面的重力大小，只要先计算出地球表面的质量场密度d=m/4πr2，其中m是地球的质量，r是地球的半径，然后算出地球表面的重力加速度g=gmd，那么任何质量m物体的重力就可以通过f=mg计算出来了。　　根据需要，可以从f=mgmd中推导出牛顿的重力公式(f=gmm/r2)。从上述第三步中已知：g=gmd，又已知牛顿的重力加速度计算公式为：g=gm/r2。其中g是牛顿引力常数。把这两个等式连接起来得：gmd=gm/r2。因为d=m/4πr2，所以得：gm(m/4πr2)=gm/r2。等式两边同时把相同因子(m/r2)约掉，得：gm/4π=g。等式两边同时乘以4π得：gm=4πg。把这个式子带入到新重力计算公式中得：f=mgmd=m(4πg)d。因为d=m/4πr2，所以，f=4πmgd=4πgmm/4πr2=gmm/r2。这样就得到了牛顿的重力计算公式：f=gmm/r2。　　同样，从牛顿的重力计算公式f=gmm/r2也可以推导出新重力计算公式f=mgmd。从上面已知：g=gm/4π。把这个式子带入牛顿重力公式得：f=gmm/r2=(gm/4π)mm/r2。因为d=m/4πr2所以，f=mgm(m/4πr2)=mgmd。 20210311

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