样本/分布的矩与矩估计(mathematica)

張小小。 2024-06-03 22:45:23
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1首先,样本矩是从一些离散的样本数据计算得到。定义式如图,ak是圆点k阶矩。bk是k阶中心矩。**erx表示样本的均值(中心)。2现在我们有一个单个随机变量的样本数据xs。计算方法如图,带入bk计算中心距,带入k=2计算二阶中心矩,结果为2。3矩的计算在mathematica中有现成函数,基本用法是:moment[样本或分布,阶数]centralmoment[样本或分布,阶数]它们分别是原点矩和中心矩。一阶原点矩和样本均值相同,但是二阶中心距和样本方差有区别。样本方差除以n-1而不是n。4接下来,我们又定义ak和bk,分别是分布的原点矩和中心矩。expectation表示期望。5带入分布为正态分布,均值1,标准差2(方差4)。带入k=2,计算两种二阶矩如图。可见,中心二阶矩就是方差σ^2。6分布的矩同样可以使用moment现成计算。如图计算一阶原点矩,和均值相同。计算二阶中心矩,和方差相同。7在我们实际测量时,我们显然无法知道分布的参数。即使我们假设是正态分布,也不知道μ,σ分别是多少。我们能得到的,是样本。矩估计,是从样本的矩近似代替分布的矩,反解出近似的分布参数的过程。计算步骤如图所示。8moment不仅只能计算一个随机变量的情形,如图我们可以计算一组xi,yi的数组的矩。如果只指定一个阶数的话,会分别计算x和y的矩。如果指定多个阶数,将是各个随机变量样本对应项乘积求和。举个例子,两个随机变量的样本,阶数为1,1的中心距,若不考虑系数差异,和协方差相等。end 20210311
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