关于相对论的多普勒频移公式

鹿鹿? 2024-05-29 18:50:37

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证明：s系相对s'系沿x轴正向度u运动，在s系中以速度v[v(x),v(y),v(z)]运动，其能量为e=eo/√(1-v^2/c^2)，则由相速度变换，物质在s'系中的速度为v'(x')=[v(x)-u]/[1-uv(x)/c^2]=[v(x)-u]/[1-v*u/c^2],v'(y')=v(y)√(1-u^2/c^2)/[1-v*u/c^2],v'(z')=v(z)√(1-u^2/c^2)/[1-v*u/c^2].因 v'^2=v'(x')^2+v'(y')^2+v'(z')^2=[v(x)^2-2v*u+u^2+v(y)^2(1-u^2/c^2)+v(z)^2(1-u^2/c^2)]/[1-v*u/c^2]^2=[u^2-2v*u+v^2-(uv)^2/c^2+(u*v)^2/c^2]/[1-v*u/c^2]^2故 1-v'^2/c^2=(1-u^2/c^2)(1-v^2/c^2)/[1-v*u/c^2]^2于是物质在s'系中的能量为e'=eo/√(1-v'^2/c^2)=eo(1-v*u/c^2)/√[(1-u^2/c^2)(1-v^2/c^2)]=e(1-v*u/c^2)/√(1-u^2/c^2)=γe(1-u*v/c^2).上式对任意粒子都成立。在这里，s为光源所在参照系，s'为观察者所在参照系，e为光子能量(e=hν)，v'=v=c，将e=hν代入得： ν'=γν(1-u*v/c^2)=γν（1-ucosθ/c）. 20210311

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