抛物线是什么？标准方程式是？各个字母表示什么？

第五人格骚傲 2024-05-27 16:32:13

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1、定义平面内,到一个定点f和一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线。另外,f称为"抛物线的焦点",l称为"抛物线的准线"。定义焦点到抛物线的准线的距离为"焦准距",用p表示.p>0.以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥，可得一个圆，如果倾斜这个平面直至与其一边平行，就可以做一条抛物线。2.抛物线的标准方程右开口抛物线:y^2=2px左开口抛物线:y^2=-2px上开口抛物线:y=x^2/2p下开口抛物线:y=-x^2/2p3.抛物线相关参数(对于向右开口的抛物线)离心率:e=1焦点:(p/2,0)准线方程l:x=-p/2顶点:(0,0)4.它的解析式求法：三点代入法5.抛物线的光学性质:经过焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴. 6、其他抛物线：y = ax* + bx + c 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y = a（x-h）* + k 就是y等于a乘以（x-h）的平方+k h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 7.用抛物线的对称性解题我们知道，抛物线y = ax2 + bx + c ( a ≠0 )是轴对称图形，它的对称轴是直线x = - b/ 2a ，它的顶点在对称轴上。解决有关抛物线的问题时，若能巧用抛物线的对称性，则常可以给出简捷的解法。例1 已知抛物线的对称轴是x =1，抛物线与y轴交于点（0，3），与x轴两交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。分析设抛物线的解析式为y = ax2 + bx + c 。若按常规解法，则需要解关于a、b、c的三元一次方程组，变形过程比较繁杂；若巧用抛物线的对称性，解法就简捷了。因为抛物线的对称轴为x =1，与x轴两交点间的距离为4，由抛物线的对称性可知，它与x轴交于a（-1，0）、b（3，0）两点。于是可设抛物线的解析式为y = a（x+1）（x-3）。又因为抛物线与y轴交于点（0，3），所以3 = -3a。故a =-1。 ∴y = -（x+1）（x-3），即 y = - x2 + 2x +3。例2 已知抛物线经过a（-1，2）、b（3，2）两点，其顶点的纵坐标为6，求当x =0时y的值。分析要求当x =0时y的值，只要求出抛物线的解析式即可。由抛物线的对称性可知，a（-1，2）、b（3，2）两点是抛物线上的对称点。由此可知，抛物线的对称轴是x = 1。故抛物线的顶点是（1，6）。于是可设抛物线的解析式为y = a（x-1）2+ 6。因为点（-1，2）在抛物线上，所以4a + 6 = 2。故a = -1。 ∴y = -（x-1）2+ 6，即 y = - x2 + 2x +5。 ∴当x =0时，y = 5。例3 已知抛物线与x轴两交点a、b间的距离为4，与y轴交于点c，其顶点为（-1，4），求△abc的面积。分析要求△abc的面积，只要求出点c的坐标即可。为此，需求出抛物线的解析式。由题设可知，抛物线的对称轴是x = -1。由抛物线的对称性可知，a、b两点的坐标分别为（-3，0）、（1，0）。故可设抛物线的解析式为y = a（x+1）2+ 4[或y = a（x+3）（x-1）]。 ∵点（1，0）在抛物线上， ∴4a + 4 = 0。∴a = -1。 ∴y = -（x+1）2+ 4，即 y = - x2 - 2x +3。 ∴点c的坐标为（0，3）。 ∴s△abc = 1/2×（4×3）= 6。例4 已知抛物线y = ax2 + bx + c的顶点a的纵坐标是4，与y轴交于点b，与x轴交于c、d两点，且-1和3是方程ax2 + bx + c =0的两个根，求四边形abcd的面积。分析要求四边形abcd的面积，求出a、b两点的坐标即可。为此，要求出抛物线的解析式。由题设可知，c、d两点的坐标分别为（-1，0）、（3，0）。由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴是x = 1。故顶点a的坐标是（1，4）。从而可设抛物线的解析式为y = a（x-1）2+ 4[或y = a（x+1）（x-3）]。 ∵点（-1，0）在抛物线上， ∴4a + 4 = 0。故a = -1。 ∴y = -（x-1）2+ 4，即 y = - x2 + 2x +3。 ∴点b的坐标为（0，3）。连结oa ，则s四边形abcd = s△boc + s△aob + s△aod = 1/2×1×3＋1/2×3×1＋1/2×3×4=9 20210311

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