关于狭义相对论中的公式推导

草莓酱紫? 2024-06-26 13:06:49

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狭义相对论中的公式推导：一、洛仑兹坐标变换：x=γ(x-ut)；y=y；z=z；t=γ(t-ux/c^2)。1、设(x,y,z,t)所在坐标系（a系）静止，（x,y,z,t）所在坐标系（b系）速度为u，且沿x轴正向。在a系原点处，x=0，b系中a原点的坐标为x=-ut，即x+ut=0。2、可令x=k(x+ut) (1)。又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数（广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。）同理，b系中的原点处有x=k(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=k。3、故有x=k(x-ut) (2)。对于y,z,y,z皆与速度无关，可得y=y (3)。4、z=z (4)。将(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kut，即t=kt+((1-k^2)/(ku))x (5)。5、(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理，要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct，x=ct。6、代入(1)(2)式得：ct=kt(c+u)，ct=kt(c-u).两式相乘消去t和t得：k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ。将γ反代入(2)(5)式得坐标变换：x=γ(x-ut)；y=y；z=z；t=γ(t-ux/c^2)。二、速度变换：v(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)；v(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))；v(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))。1、v(x)=dx/dt=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)。2、同理可得v(y),v(z)的表达式。三、尺缩效应：△l=△l/γ或dl=dl/γ。b系中有一与x轴平行长l的细杆，则由x=γ(x-ut)得：△x=γ(△x-u△t)，又△t=0(要同时测量两端的坐标)，则△x=γ△x，即：△l=γ△l,△l=△l/γ。四、钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ。由坐标变换的逆变换可知，t=γ(t+xu/c^2),故△t=γ(△t+△xu/c^2)，又△x=0，(要在同地测量)，故△t=γ△t。五、光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)。光源与探测器在一条直线上运动。1、b系原点处一光源发出光信号，a系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。b系中光源频率为ν(b)，波数为n，b系的钟测得的时间是△t(b)，由钟慢效应可知，a△系中的钟测得的时间为△t(a)=γ△t(b) (1)。2、探测器开始接收时刻为t1+x/c，最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c，则△t(n)=(1+β)△t(a) (2)。3、相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(n) (3)。4、由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)。六、动量表达式：p=mv=γmv,即m=γm。1、dt=γdτ,此时γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因为对于动力学质点可选自身为参考系，β=v/c。2、牛顿第二定律在伽利略变换下保持形势不变，即无论在哪个惯性系内牛顿第二定律都成立。3、牛顿力学中，v=dr/dt，r在坐标变换下形式不变，只要将分母替换为一个不变量就可以修正速度的概念了。即令v=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。4、牛顿动量为p=mv，将v替换为v，可修正动量，即p=mv=γmv。定义m=γm（相对论质量）则p=mv。七、相对论力学基本方程：f=dp/dt。由相对论动量表达式可知：f=dp/dt，这是力的定义式，虽与牛顿第二定律的形式完全一样，但内涵不一样。八、质能方程：e=mc^2。1、ek=∫fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv=mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2=mv^2+mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2=mc^2-mc^2。2、即e=mc^2=ek+mc^2九、能量动量关系：e^2=(e0)^2+p^2c^2。e=mc^2，p=mv，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)，e0=mc^2，可得：e^2=(e0)^2+p^2c^2。 20210311

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