若椭上存在三点,使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为多少?

暖暖 2024-11-05 22:50:18
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原题是:若椭圆上存在三点,使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点,该椭圆的离心率为多少?结论: e=√6/3.不妨设椭圆方程是x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)假设正方形oabc满足条件(o、a、b、c按逆时针方向排列)设a(am,bn)则c(-bn,am),且 b(am-bn,am+bn)它们都在椭圆上得:m²+n²=1 (1)(-bn)²/a²+(am)²/b²=1即 (a²/b²)m²+(b²/a²)n²=1 (2)(am-bn)²/a²+(am+bn)²/b²=1(m²+n²)+((a²/b²)m²+(b²/a²)n²)²+(2c²/(ab))mn=11+1+(2c²/(ab))mn=1mn=-ab/(2c²) (3)由 (1)(2)解得 m²=b²/(a²+b²),n²=a²/(a²+b²)(mn)²=a²b²/(a²+b²)² (4)由(3)(4)得a²b²/(a²+b²)²=(-ab/(2c²))²a²+b²=2c²2a²=3c²e²=(c/a)²=2/3所以 e=√6/3.希望能帮到你! 20210311
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